- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）
（1）求b的值；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调增函数，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）∵函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R）对任意x∈R，有f（-x）=f（x），
∴令x=
π
2
)2+bsin (-
π
2
)2+bsin(
（2）由（1）得f（x）=x2-2，
∴有：g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx，
∵g（x）区间（0，1）上为单调增函数，
∴有g′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，
又∵g′（x）=2x+2+a
∴2x+2+a
即：a≥-2x2-2x在（0，1）上恒成立，
令∅（x）=-2x2-2x，
则只须a大于等于∅（x）=-2x2-2x在（0，1）上的最大值，
而∅（x）=-2x2-2x在（0，1）上有∅（x）＜∅（0）=0，
∴a≥0．
故答案为：（1）b=0，（2）a≥0．
定义：对于函数f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）对定义域内的x恒成立，则称函数f（x）为ϕ函数．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=ex1nx为ϕ函数．
（Ⅱ）对于定义域为（0，+∞）的ϕ函数f（x），求证：对于定义域内的任意正数x1，x2，…，xn，均在f（1n（x1+x2+…+xn））＞f（1nx1）+f（1nx2）．+…+f（1nxn）
正确答案
证明：（Ⅰ）∵f（x）=exlnx，
∴f′(x)=exlnx+
因为x＞0，
所以
所以f'（x）＞f（x）
所以函数f（x）=ex1nx为ϕ函数．…（6分）
（Ⅱ）构造函数g(x)=
即g（x）在R上递增，…（8分）
所以g（ln（x1+x2+…xn））＞g（lnx1），g（lnx1），g（ln（x1+x2+…+xn））＞g（lnx2），…，g（ln（x1+x2+…+xn））＞g（lnxn）
得到
…
相加后，得到：f（ln（x1+x2+…+xn））＞f（lnx1）+f（lnx2）+…+f（lnxn）．…（12分）
定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．
现有如下函数：
①f（x）=x3；
②f（x）=2-x；
③f(x)=
④f（x）=x+sinx．
则存在承托函数的f（x）的序号为______．（填入满足题意的所有序号）
正确答案
函数g（x）=kx+b（k，b为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）
①f（x）=x3的值域为R，所以不存在函数g（x）=kx+b，使得函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方，故不存在承托函数；
②f（x）=2-x＞0，所以y=A（A≤0）都是函数f（x）的承托函数，故②存在承托函数；
③∵f(x)=
④f（x）=x+sinx≥x-1，所以存在函数g（x）=x-1，使得函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方，故存在承托函数；
故答案为：②④
已知函数f(x)=kx+
正确答案
∵函数f(x)=kx+
f（lg
故答案为-4
设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若∀x∈[-2-
正确答案
当x≥0时，f（x）=x2
∵函数是奇函数
∴当x＜0时，f（x）=-x2
∴f（x）=
∴f（x）在R上是单调递增函数，
且满足2f（x）=f（
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（
∴x+t≥
即：x≤（1+
∴2+
解得：t≥
故答案为：[2，+∞）．
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