热门试卷

（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，

∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0

又f（-1）=-f（1），

即-a-2b-c=-a+2b-c，

∴b=0

∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c．

∵x=1时，f（x）取极小值-，

∴3a+c=0且 a+c=-．

解得a=，c=-．

∴f（x）=x3-x…4

（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．

假设图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得过此两点处的切线互相垂直，

则由f′（x）=（x2-1）知两点处的切线斜率分别为k1=(-1)，k2=(-1)，且(-1)(-1)=1             （*）

∵x1，x2∈[-1，1]，

∴-1≤0，-1≤0

∴（-1）（-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立  …（8分）（文12分）

（Ⅲ）证明：f′（x）=（x2-1），令f′（x）=0，得x=±1

∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0

∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=，fmin（x）=f（1）=-．

∴在[-1，1]上|f（x）|≤，于是x1，x2∈[-1，1]时，

|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤+=…（12分）

（Ⅰ）f′（x）=ax2-3x+（a+1），

由于函数f（x）在x=1时取得极值，

所以f′（1）=0，即a-3+a+1=0，

∴a=1．

（Ⅱ）由题设知：ax2-3x+（a+1）＞x2-x-a+1，对任意x∈[0，1]都成立，

即（a-1）x2-2x+2a＞0对任意x∈[0，1]都成立，

令g（x）=（a-1）x2-2x+2a，

①当a=1时，由g（x）＞0解得x＜1，显然x=1时不成立，故a≠1；

②当a-1＜0，即a＜1时，g（x）=（a-1）x2-2x+2a开口向下，g（x）的对称轴为x=-=＜0，

∴g（x）=（a-1）x2-2x+2a在[0，1]上单调递减，

∴g（x）＞0⇔g（1）=（a-1）-2+2a＞0，解得a＞1，与a＜1矛盾，故a＜1不符合题意；

③当a-1＞0，即a＞1时，g（x）=（a-1）x2-2x+2a开口向上，g（x）的对称轴为x=-=＞0，

若0＜≤1，即a≥2时，g（x）min=g（）=2a-＞0⇒a＞或a＜，

∴a≥2；

若＞1，即＞0⇒1＜a＜2时，g（x）=（a-1）x2-2x+2a开口向上，

∴g（x）＞0⇔g（1）=（a-1）-2+2a＞0，解得a＞1，又1＜a＜2，

∴1＜a＜2．

综上所述，a＞1．

若m2-2m-3=0，则m=-1或m=3．…（2分）

若m=-1，不等式（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1＜0为4x-1＜o不合题意；…（4分）

若m=3，不等式（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1＜0为-1＜0对一切x∈R恒成立，所以m=3可取．…（6分）

设f（x）=（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1，

当 m2-2m-3＜0且△=[-（m-3）]2+4（m2-2m-3）＜0，解得：-＜m＜3．…（9分）

即-＜m＜3时不等式（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1＜0对一切x∈R恒成立，

故m∈(-，3]．…（12分）