热门试卷

（Ⅰ）假设存在实数a函数f(x)=a-是奇函数，因为f（x）的定义域为R，

所以f（0）=a-1=0，所以a=1

此时f(x)=1-=，则f(-x)===-f(x)，

所以f（x）为奇函数

即存在实数a=1使函数f（x）为奇函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-，因为2x+1在R上递增，所以在R上递减，所以f(x)=1-在R上递增．

∵2x+1＞1，

∴0＜＜2，

∴-1＜1-＜1，

即函数f（x）的值域为（-1，1）

（I）证明：由题设易得g（x）=e2x-t（ex-1）+x，g'（x）=2e2x-tex+1．又2ex+e-x≥2，且t＜2

得t＜2ex+e-x，

tex＜2e2x+1，即g'（x）=2e2x-tex+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．

（II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e2x-tex+1＜0，即t＞2ex+e-x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2ex+e-x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．

（III）设F（t）=2t2-2（ex+x）t+e2x+x2+1，即F(t)=2(t-)2+(ex-x)2+1

易F(t)≥(ex-x)2+1，令H（x）=ex-x，则H'（x）=ex-1，易知H'（0）=0．当x＞0时，H'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以(ex-x)2+1≥

于是对任意的x，t，都有F(t)≥，即f(x)≥

解（1）∵y=f（x）是奇函数，

∴对任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即loga+loga=0．

化简此式，得（m2-1）x2-（2m-1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），

必有，解得m=1．

∴f(x)=loga，D=(-1，1)．

（2）当0＜a＜1时，函数f(x)=loga在D=(-1，1)上是单调增函数．

理由：令t==-1+．

易知1+x在D=（-1，1）上是随x增大而增大，在D=（-1，1）上是随x增大而减小，

故t==-1+在D=（-1，1）上是随x增大而减小

于是，当0＜a＜1时，函数f(x)=loga在D=(-1，1)上是单调增函数．

（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）

∴0＜a＜1，a＜b≤1．

∴由（2）知，函数f(x)=loga在A上是增函数，即f(a)=1，loga=1，

解得a=-1(舍去a=--1)．

若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为[1，loga)，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，

∴必有b=1．

因此，所求实数a、b的值是a=-1、b=1．