热门试卷

（1）函数f（x）=是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，

可得f（0）=0，解得d=0．

再由f（1）==，可得 c=1．

故函数的解析式为 f（x）=．

（2）由函数的解析式可得函数在（-1，1）上是增函数．

证明：设-1＜x1＜x2＜1，则 f（x1）-f（x2）=- 

===．

由题设可得 x1-x2＜0，1-x1x2＞0，∴＜0，

故有f（x1）-f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2），故函数在（-1，1）上是增函数．

（1）∵f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，

设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．则点M关于x=1的对称点（2-x，g（2-x））在函数g（x）的图象上．

∴f（x）=g（2-x）=-ax+x3．  …（3分）

（2）f′（x）=-a+3x2，又x=1是函数f（x）的一个极值点，

∴f′（1）=0⇒-a+3=0，得a=3，…（4分）

故f（x）=-3x+x3．f′（x）=-3+3x2=-3（x+1）（x-1），当x∈[-1，1]，f′（x）≤0，

∴f（x）在[-1，1]上是减函数．  …（5分）fmin（x）=f（1）=-2，fmax（x）=f（-1）=2，…（7分）

故对任意x1，x2∈（-1，1），有|f（x1）-f（x2）|＜|2-（-2）|=4．  …（8分）

（3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=-a+3x2＜0在[1，+∞）上恒成立．

即a≥3x2在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在；  …（9分）

若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．故a≤3．  …（11分）

设f（x0）＞x0≥1则f[f（x0）]＞f（x0），∴x0＞f（x0）矛盾，…（13分）

若x0＞f（x0）≥1则f（x0）＞f[f（x0）]∴f（x0）＞x0矛盾！

故f（x0）=x0．                                           …（15分）

（1）设x1＜x2则

f(x1)-f(x2)=-=

∵x1＜x2

∴2x2-2x1＞0

又2x1+1＞0，2x2+1＞0

∴f（x1）-f（x2）＜0

∴f（x1）＜f（x2）

∴f（x）单调递增

（2）若函数为奇函数，则有f（0）=0即a-=0

∴a=

将a=代入f（x），满足f（-x）=-f（x）