热门试卷

（1）因为对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），

所以令b=0，则f（a）=f（a）•f（0），

当a＞0时，有f（a）＞1，所以f（0）=1；

（2）令a=1，b=-1，则f（0）=f（1）•f（-1），即1=2f（-1），

∴f（-1）=，又f（1）=2，

所以原函数既不是奇函数，也不是偶函数．

（1）∵f（1）=1，

∴2+a=1，得a=-1

（2）函数的定义域是{x|x≠1}

又f（-x）=-2x-=-（2x+）=-f（x），所以，函数是奇函数

（3）由（1）f（x）=2x-，此函数在（1，+∞）上是增函数

任取1＜x1＜x2＜+∞，

f（X1）-f（x2）=（2 x1-）-（2x2-）=

由于1＜x1＜x2＜+∞，可得2x1x2+1＞0，x1-x20

∴f（X1）-f（x2）=＜0，

∴f（X1）＜f（x2）

∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

（1）求导函数可得f′(x)=-2ax+1

令f′(x)=-2ax+1≥0，

∵x＞0，∴2a≤+=(+)2-

∵x＞0，∴+≥0

∴2a≤0，∴a最大值为0

f′(x)=-2ax+1≤0，即-2ax2+x+1≤0，函数在（0，+∞）内不是单调函数

综上，a最大值为0；

（2）由（1）知，a≤0，函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数，f（x）＞0

∴a＞0

构造函数y1=lnx，y2=ax2-x

∵对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，

∴对于任意的x∈（0，+∞），总有y1＜y2，即对于任意的x∈（0，+∞），y1=lnx在y2=ax2-x的下方，

如图所示，

∴0＜≤1，

∴a≥1

证明：∵f（x）的定义域为R，

∴它的定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）2+1=f（x）

所以f（x）是偶函数．

任取x1，x2且x1＜x2，x1与x2∈[0，+∞）则f（x1）-f（x2）=x12+1-（x22+1）=x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）＜0

∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[0，+∞）上是增加的．