- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=2，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f（-3）=______；f（2009）=______．
正确答案
由题意知，f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，
∴f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
∵f（x）是R上的奇函数，∴f（3）=0，故f（x+6）=f（x），
∴f（x）是周期为6的周期函数，
∴f（2009）=f（6×334+5）=f（5）=f（-1）=-f（1）=-2．
故答案为：0，-2．
已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x-1，则满足f（x）＜0的实数x的取值范围是______．
正确答案
∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x-1，
∴当x≥0时，f（x）＜0⇒x-1＜0⇒0≤x＜1
而当x＜0时，函数为偶函数，故有f（-x）=-x-1=f（x）
f（x）＜0⇒-x-1＜0⇒-1＜x＜0
综上，得满足f（x）＜0的实数x的取值范围是-1＜x＜1
故答案为：（-1，1）
对函数f（x）=xsinx，现有下列命题：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）的最小正周期是2π；
③点（π，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
④函数f（x）在区间[0，
其中是真命题的是 ______（写出所有真命题的序号）．
正确答案
对于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函数f（x）是偶函数①正确；
对于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函数f（x）的最小正周期是2π，②不正确；
对于③，由于f（
对于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在区间[0，
故答案为：①④
已知f（x）=（m-1）x2+mx+1是偶函数，则f（x）在区间[-2，1]上的最大值与最小值的和等于______．
正确答案
∵f（x）=（m-1）x2+mx+1是偶函数，
∴m=0，
∴f（x）=-x2+1
则f（x）在区间[-2，1]上的最大值与最小值分别为-3和1
则f（x）在区间[-2，1]上的最大值与最小值的和等于-2
故答案为：-2
已知定义在实数集R上的奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（-1），则x的取值范围为______．
正确答案
由题意可得：奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，
所以奇函数f（x）在区间（-∞，0）上是单调增函数，
因为f（lgx）＜f（-1），
所以lgx＜-1，解得：0＜x＜
故答案为(0，
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