- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一根为x0且
正确答案
2
已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数
（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x1，x2（x1＜x2），则
①函数f（x）在（-1，1）上是单调函数吗？说明理由；
②若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4），求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围。
正确答案
解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴
∴bx=0，∴b=0，
∴
∴函数g（x）为奇函数；
（2）①由
∴
又f（x）的对称轴
故f（x）在（-1，1）上是单调函数；
②
∴
∴
∴
同理
要使
只需
或
故a的取值范围
已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．
正确答案
解：（1）∵函数f（x）=|x﹣a|为偶函数，
∴对任意的实数x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，
∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立
∵x+a=a﹣x不能恒成立
∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．
（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，
等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，
即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，
令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，
因为h（0）=﹣a2＜0，
所以
同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；
当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．
综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
（3）令F（x）=f（x）·g（x）
①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），
对称轴
所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．
②当1＜a≤2时，
对称轴 
在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a﹣2a2，
1）若F（1）＜F（2），即 
2）若F（1）≥F（2），即
③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）
对称轴 
④当a＞4时，对称轴
综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值
求证
正确答案
见解析
不妨在
即
若整数m满足不等式
①函数y=f（x），x∈R是周期函数且其最小正周期为1；
②函数y=f（x），x∈R的图象关于点（k，0），k∈Z中心对称；
③函数y=f（x），x∈R在
④方程
其中正确命题的序号是（ ）．（写出所有正确命题的序号）．
正确答案
①④
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