- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
给出下列四个命题：
①当x＞0且x≠1时，有lnx+
②圆x2+y2-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0对称的点M'都在该圆上；
③若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则y=f（x）为偶函数；
④若sinx+cosx=-
其中正确命题的序号为 ______．
正确答案
①当x＞0且x≠1时，有lnx+
②圆x2+y2-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0对称的点M'都在该圆上；正确，因为直线ax-y-5a-2=0
恒过圆的圆心，所以满足题意．
③若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则y=f（x）为偶函数；正确，
因为函数y=f（x-1）的图象向左平移1单位就是函数y=f（x）．
④若sinx+cosx=-
=
故答案为：②③④
是否存在实数a，使得f(x)=ln(
正确答案
假设存在实数a满足题设条件，则
=ln[(
又当a=
g(-x)=
∴g（x）为偶函数．
综上所述，存在a=
（文科）已知函数f(x)=
（1）求实数a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，不等式f（x1）+k＜g（x2）恒成立，求实数k的取值范围．
正确答案
（文科）（1）∵g(1)=1=f(1)=
又g'（x）=-2x+1，∴g'（1）=-1．
∵两双曲线在点P处的切线互相垂直，
∴f'（1）=1．
∵f'（x）=ax2+2bx+2，
∴f'（1）=a+2b+2=1，
∴
（2）∵f（x）=-x3+x2+2x-1
对任意的x1，x2∈[-1，1]，f（x1）+k＜g（x2）恒成立，
∴f（x）max+k＜g（x）min（x∈[-1，1]），
∵f'（x）=-3x2+2x+2，
则f'（x）＞0得
∴函数f（x）在[-1，
而f（-1）=-1，f（1）=1，
∴f（x）max=f（1）=1，
而g(x)=-x2+x+1=-(x-
当x∈[-1，1]时，g（x）min=g（-1）=1
故1+k＜-1，
k＜-2，
∴实数k的取值范围是（-∞，-2）．
我们把具有以下性质的函数f（x）称为“好函数”：对于在f（x）定义域内的任意三个数a，b，c，若这三个数能作为三角形的三边长，则f（a），f（b），f（c）也能作为三角形的三边长．现有如下一些函数：
①f(x)=
②f(x)=1-x，x∈(0，
③f（x）=ex，x∈（0，1）
④f（x）=sinx，x∈（0，π）．
其中是“好函数”的序号有______．
正确答案
任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，不妨设c是最大边，且a+b＞c
①f(x)=
②f（x）=1-x，∵f（a）+f（b）-f（c）=1+c-（a+b），a，b，c∈（0，
③f（x）=ex，ea+eb＞2
④f（x）=sinx，若f（a）+f（b）=sina+sinb=2sin
故答案为：①②③
已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=2，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（t2-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
正确答案
证明：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0…（1分）
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴-f（x）=f（-x）…（3分）
∵f（x）的定义域为R，关于原点对称．
∴f（x）是奇函数．…（4分）
（2）在R上任取x1，x2，且x1＞x2，f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）
∵x1-x2＞0，
∴f（x1-x2）＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即：f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在R上单调递增．…（7分）
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=4，f（-2）=-f（2）=-4…（8分）
∴f（x）在[-2，2]上最大值为4，最小值为-4．…（9分）
（3）∵f（t2-2t）+f（t2-k）＞0，f（x）是定义在R上的奇函数，
∴
由（2）可知f（x）在R上单调递增，
∴t2-2t＞-t2+k，
∴k＜2t2-2t=2(t-
1
2
)2-
∴k＜-
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