- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+x-1，求的表达式．
正确答案
由题意知：f（-0）=-f（0）=f（0），f（0）=0；
当x＜0时，则-x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x2+x-1，
所以f（-x）=（-x）2+（-x）-1=x2-x-1，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）=-x2+x+1，
所以f（x）的表达式为：f（x）=
已知a∈R，函数 f（x）=x3+ax2+（a-3）x的导函数是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为______．
正确答案
f′（x）=3x2+2ax+（a-3），
∵f′（x）是偶函数，
∴3（-x）2+2a（-x）+（a-3）=3x2+2ax+（a-3），
解得a=0，
∴k=f′（0）=-3，
∴切线方程为y=-3x，即3x+y=0．
故答案为：3x+y=0．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2时，总有f(x)≤
（1）求f（1）的值；
（2）求f（-1）的取值范围．
正确答案
（1）∵对任意实数x都有f（x）≥2x，
∴f（1）≥2．
∵当0＜x＜2时，总有f(x)≤
∴f（1）≤
∴f（1）=2．（3分）
（2）∵f（1）=a+b+c=2，
对任意实数x都有f（x）≥2x，
即ax2+（b-2）x+c≥0恒成立，
∴
∴b-2=-（a+c），
∴[-（a+c）]2-4ac≤0，
即（a-c）2≤0，
∴a=c＞0，b=2-2a．（5分）
∵f(x)≤
∴2f（x）≤（x+1）2，
即2[ax2+（2-2a）x+a]≤（x+1）2，
整理得 （2a-1）x2+（2-4a）x+2a-1≤0，
即（2a-1）（x-1）2≤0，
∵当0＜x＜2时，它恒成立，
∴0＜a≤
∴f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]．（10分）
已知函数f（x）=loga
正确答案
∵函数f（x）=loga
关于原点对称
又∵f（-x）=loga
故f（x）为奇函数
已知函数f（x）=2x-2-xlga是奇函数，则a的值等于______．
正确答案
函数f（x）=2x-2-xlga是奇函数
∴f（x）+f（-x）=0，
∴2x-2-xlga+2-x-2xlga=0，即2x+2-x-lga（2x+2-x）=0
∴lga=1
∴a=10
故答案为：10．
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