函数奇偶性的性质及其判断
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题型：填空题

填空题

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（a）＞f（b），则f（-a）______f（-b）（用“＞”或“＜”填空）．

正确答案

根据奇函数的性质，f（-a）=-f（a），f（-b）=-f（b）；

∵f（a）＞f（b），∴-f（a）＜-f（b），即f（-a）＜f（-b）．

故答案是＜

题型：填空题

填空题

设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为有界泛函．在函数

①f（x）=-5x，

②f（x）=x2，

③f（x）=sin2x，

④f（x）=()x，

⑤f（x）=xcosx

中，属于有界泛函的有______（填上所有正确的序号）．

正确答案

①|f（x）|=5|x|，故存在M=5，对|f（x）|≤M|x|一切实数x均成立，故是有界泛函；

②|f（x）|=|x2|≤M|x|，所以|x|≤M，故不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；

③|f（x）|=|sin2x|≤1，又|f（x）|≤M|x|，故不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；

④|f（x）|=|f(

)x|≥0，又|f（x）|≤M|x|，故不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；

⑤|f（x）|=|xcosx|=|cosx||x|≤|x|，故存在M=1，对|f（x）|≤M|x|一切实数x均成立，故是有界泛函；

故答案为①⑤

题型：简答题

简答题

对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的不动点．若函数f（x）=（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-．

（1）试求函数f（x）的单调区间，

（2）已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f（）=1，其中Sn表示数列{an}的前n项和，求证：(1-)an+1＜＜(1-)an

（3）在（2）的前题条件下，设bn=-，Tn表示数列{bn}的前n项和，求证：T2011-1＜ln2011＜T2010．

正确答案

（1）∵函数f（x）=（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，

∴，

∴a=0，2b-c=2．

∴f(x)=，

∵f（-2）＜-，

∴＜-，

∴＞，

∴0＜2b-1＜4，

∴＜b＜，

∵b，c∈N*，

∴b=1，c=0（舍），或b=2，c=2．

∴f(x)=．定义域为x≠1，

∴f′(x)==，

由f′(x)=＞0，得x＜0，或x＞2，

由f′(x)=＜0，得0＜x＜2，

∵x≠1，

∴函数f（x）的单调增区间是（-∞，0），（2，+∞）；单调减区间是（0，1），（1，2）．

（2）∵各项不为0的数列{an}满足4Sn•f（）=1，

∴4Sn•=4Sn•=1，

∴4Sn=2an-2an2，

∴2Sn=an-an2，

当n≥2时，2Sn-1=an-1-an-12，

两式相减，得an=-an-1，或an-an-1=-1，

当n=1时，a1=-1，

由an=-an-1，知a2=1，不在定义域范围内，应舍去．

故an-an-1=-1，

∴an=-n．

∴(1-)an+1＜＜(1-)an等价于（1+）-（n+1）＜＜（1+）-n，

即(1+)n＜e＜(1+)n+1，

两边取对数后，nln(1+)＜1＜(n+1)ln(1+)，

即证＜ln(1+)＜．

设f（x）=ln（1+x）-x，x＞0

则 f′（x）=-1＜0，

所以 f（x）在（0，+∞）上是减函数，

于是 f（x）＜f（0）=0 即 ln（1+x）＜x．

设g（x）=-ln（1+x），

则 g′（x）=-=-＜0，

所以 g（x）在（0，+∞）上是减函数，于是 g（x）＜g（0）=0，

即＜ln（1+x）．

∴＜ln(1+x)＜x，

令x=，得＜ln(1+)＜．

∴(1-)an+1＜＜(1-)an．

（3）由（2）得，bn=，

则Tn=1+++…+，

在＜ln(1+)＜中，

令n=1，2，3，…，2010，

并将各式相加，得

++…+＜ln+ln+…+ln＜1+++…+，

∴T2011-1＜ln2011＜T2010．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx．

（1）求证：f（x）≥g（x）；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；

（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x1、x2（x1＜x2）；求实数m的取值范围，并证明：F(x2)＞-．

正确答案

（1）设G（x）=x2-x-lnx，

故G′(x)=（x＞0）…2'

∴G（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增

∴G（x）≥G（1）=0

∴f（x）≥g（x）…2'

（2）令h（x）=f（x）-ag（x）

∵h（1）=0

所以h（x）≥0的必要条件是h'（0）=0，得a=1…3'

当a=1时，由（1）知h（x）≥0恒成立．

所以a=1…2'

（3）因为F（x）=f（x）+mg（x）=x2-x+mlnx，所以F′(x)= (x＞0)，

F（x）有两个极值点x1、x2等价于

方程2x2-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根

∴得 0＜m＜…2'

由F'（x）=0得m=-2x22+x2，（0＜x1＜＜x2＜）

∴F（x2）=x22-x2+（x2-2x22）lnx2

设ϕ(x)=x2-x+(x-2x2)lnx ， (＜x＜)，

得ϕ'（x）=（1-4x）lnx＞0，∴ϕ(x)＞ϕ()=-

所以F(x2)＞-…4'

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）若对任意x∈[0，]，f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）∵=2×，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．

又g(x)=sin[2(x-)+φ]-b+为奇函数，且0＜φ＜π，则φ=，b=，

故f(x)=sin(2x+)-．

（2）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 -+kπ≤x≤+kπ ，(k∈Z)，

故函数的增区间为[-+kπ，+kπ](k∈Z)．

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 +kπ≤x≤+kπ ，(k∈Z)，

故函数的减区间为[+kπ，+kπ](k∈Z)．

（3）∵f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，整理可得m≤+f(x)-1．

∵x∈[0，]，∴0≤sin（2x+）≤1，-≤f（x）≤1-，故-1-≤f(x)-1≤-．

则有 ≤+f(x)-1≤-，故+f(x)-1 的最小值为，

故 m≤，即m取值范围是(-∞，]．

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