- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=2x2．
（Ⅰ） 求x＜0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ） 令g（x）=lnx，问是否存在x0，使得f（x），g（x）在x=x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0值；若不存在，请说明理由．
正确答案
（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）2=-2x2；（6分）
（Ⅱ）若f（x），g（x）在x0处的切线互相平行，则f'（x0）=g'（x0），（4分）
f′(x0)=4x0=g′(x0)=
∵x≥0，得x0=
设f（x）=
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）证明：当n∈N+时，有bn≤(
正确答案
由f（x）是奇函数，得b=c=0，
由|f（x）min|=2
（2）an+1=
bn+1=
∴bn=bn-12=bn-24═
∴bn=(
当n=1时，b1=
当n≥2时∵2n-1=（1+1）n-1=1+Cn-11+Cn-12++Cn-1n-1≥1+Cn-11=n
∴(
函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时f（x）=3x-2，则f（5）=______．
正确答案
∵当x＜0时f（x）=3x-2，∴f（-5）=3×（-5）-2=-17，
∵函数y=f（x）是奇函数，∴f（-5）=-f（5）=17，
故答案为：17．
已知方程|2x-1|-|2x+1|=a+1有实数解，则a的取值范围为______．
正确答案
分离出参数a+1，
∵a+1=|2x-1|-|2x+1|，
∵函数f（x）=|2x-1|-|2x+1|值域为：[-2，0）
∴a+1∈[-2，0）
∴a的取值范围为：-3≤a≤-1．
故答案为：[-3，-1）．
设x=-1是f（x）=（x2+ax+b）e2-x（x∈R）的一个极值点，
（1）求a与b的关系式（用a表示b）并求f（x）的单调区间
（2）是否存在实数m，使得对任意a∈（-2，-1）及λ1λ2∈[-2，1]总有|f（λ1）-f（λ2）|＜[（m+2）a+1]e3恒成立，若存在求出m的范围．若不存在，说明理由．
正确答案
（1）f'（x）=-[x2+（a-2）x+b-a]e2-x
由f'（-1）=0得b=2a-3…（2分）∴f（x）=（x2+ax+2a-3）e2-x
由于x=-1是f（x）的极值点，故x1≠x2，即a≠4
①当a＜4时，x2＞x1，故[-1，3-a]为f（x）的单调增区间；（-∞，-1]、[3-a，+∞）为f（x）
的单调减区间．…（4分）
②当a＞4时，x2＜x1，故[[3-a，-1]为f（x）的单调增区间；（-∞，3-a]、[-1，+∞）为f（x）的单调减区间…（6分）
（2）由-2＜a＜-1得4＜3-a＜5，从而知f（x）在[-2，-1]单调递减，在[-1，1]上单调递增，
f（x）的值域为[f（-1），max{f（-2），f（1）}]=[（a-2）e3，e4]…（8分）
假设存在实数m满足题设，依题意有：[（m+2）a+1]e3＞e4-（a-2）e3恒成立，
即（m+3）a-e-1＞0恒成立，…（12分）
令g（a）=（m+3）a-e-1，
则有
故存在实数m∈（-∞，-4-e]满足题设．…（14分）
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