函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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题型：填空题

填空题

函数是_____________函数。（填“奇”、“偶”）

正确答案

奇

【错解分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。

【正解】由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。

【点评】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。

（2）函数具有奇偶性，则是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。

题型：简答题

简答题

（本小题满分10分）定义在R上的函数R) 是奇函数,

（1）求的值;

（2）若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围.

正确答案

（1）

（2）

（1）函数是奇函数, .

, 得. ……………4分

（2）由（1）得，令，即. 化简得. 或. 若是方程的根, 则, 此时方程的另一根为1, 不符合题意.

函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于

方程 (※)在区间上有且仅有一个非零的实根.

（1）当时, 得方程(※)的根为, 不符合题意.

（2）当时, 则

①当时, 得. 若, 则方程(※)根为,符合题意;若, 则方程(※)的根为,不合题意. .

② 当时, 令,由得.. 若, 得,此时方程的根是, , 不符合题意. 综上所求实数的取值范围是 .

题型：填空题

填空题

定义在R上的偶函数在上是增函数．若，则实数的取值范围是_________

正确答案

试题分析：因为定义在R上的偶函数在上是增函数．且，所以,|a|2，解得。

点评：简单题，因为函数是偶函数，所以，将转化成是关键。

题型：简答题

简答题

已知函数对任意实数恒有且当x＞0，

(1)判断的奇偶性；

(2)求在区间[－3,3]上的最大值；

(3)解关于的不等式

正确答案

(1) 为奇函数(2) 6 (3)见解析

本试题主要考查了函数的奇偶性和单调性以及不等式的求解综合运用。

（1）运用赋值法思想得到函数的奇偶性的判定。

（2）先证明函数的单调性，然后利用单调性证明不等式。

（3）对于参数a分情况讨论得到解集。

解（1）取则………………1′

取

对任意恒成立 ∴为奇函数. ………………3′

（2）任取，则

………………4′

又为奇函数

∴在（－∞，+∞）上是减函数.

对任意，恒有………………6′

而

∴在[－3，3]上的最大值为6………………8′

（3）∵为奇函数，∴整理原式得

进一步可得

而在（－∞，+∞）上是减函数，………………10′

当时，

题型：填空题

填空题

已知函数是奇函数，那么a等于

正确答案

因为是奇函数，因此f(0)=0,代入解得a=1.

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