- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数
（1）当b=0时，若f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值；
（3）对满足（2）中的条件的整数对（a，b），试构造一个定义在D={x|x∈R且x≠2k，k∈Z}上的函数h（x），使h（x+2）=h（x），且当x∈（﹣2，0）时，h（x）=f（x）．
正确答案
解：（1）当b=0时，f（x）=ax2﹣4x，
若a=0，f（x）=﹣4x，则f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，符合题意；
若a≠0，要使f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，必须满足
∴0＜a≤1．
综上所述，a的取值范围是[0，1]
（2）若a=0，
∴f（x）为二次函数，要使f（x）有最大值，必须满足
即a＜0且
此时，
又g（x）取最小值时，x0=a，
依题意，有
∵a＜0且
∴
此时b=﹣1或b=3．
∴满足条件的整数对（a，b）是（﹣1，﹣1），（﹣1，3）．
（3）当整数对是（﹣1，﹣1），（﹣1，3）时，f（x）=﹣x2﹣2x
∵h（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2为周期的周期函数，
又当x∈（﹣2，0）时，h（x）=f（x），构造h（x）如下：
当x∈（2k﹣2，2k），k∈Z，则
h（x）=h（x﹣2k）=f（x﹣2k）=﹣（x﹣2k）2﹣2（x﹣2k），
故h（x）=﹣（x﹣2k）2﹣2（x﹣2k），x∈（2k﹣2，2k），k∈Z．
已知奇函数f（x）的定义域是R，且f（x）=f（1﹣x），当0≤x≤ 时，f（x）=x﹣x2．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的解析式；
（3）求函数f（x）的值域．
正确答案
解：（1）f（x+2）=f（1﹣（x+2））=f（﹣x﹣1）=﹣f（x+1）=﹣f（1﹣（x+1））=﹣f（﹣x）=f（x），
所以f（x）是周期为2的函数．
（2）∵当x∈
∴x∈[0，1]时，f（x）=x﹣x2
∴当x∈[1，2]时，f（x）=f（x﹣2）=﹣f（2﹣x）=（2﹣x）2﹣（2﹣x）=x2﹣3x+2．
∴当x∈[1，2]时，f（x）=x2﹣3x+2．
（3）由函数是以2为周期的函数，
故只需要求出一个周期内的值域即可，由（2）知
故在[﹣1，1]上函数的值域是 
故值域为
已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a=（ ），b=（ ）．
正确答案
定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f（k·3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
正确答案
解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函数．
（2）解：f（3）=log23＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，
又由（1）f（x）是奇函数．
f（k·3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），
k·3x＜﹣3x+9x+2，
令t=3x＞0，分离系数得：
问题等价于
对任意t＞0恒成立．
∵
∴
给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数
②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；
③函数y=3（x-1）2的图像可由y=3x2的图像向右平移1个单位得到；
④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图像连续的函数，且f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；
其中正确命题的序号是（ ）。（填上所有正确命题的序号）
正确答案
③⑤
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