- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数f（x）=
正确答案
∵函数f （x）=
即a≥-
令g（x）=-[(x+1)+
又∵x∈N*，
∴当x=2时，g（x）取最大值
故a≥
即a的取值范围是[
故答案为：[
已知函数
（1）求函数的定义域，并证明
（2）对于x∈[2，6]，
（3）当n∈N*时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n2的大小关系。
正确答案
解：（1）由
∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时
∴
（2）当x∈[2，6]时
∴
∵x∈[2，6]，
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）2+16，x∈ [2，6]，
由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，
x∈[2，6]时，g（x）min=g（6）=7，
∴0＜m＜7。
（3）f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=
构造函数h（x）=ln（1+x）-
当x>0时，h'（x）＜0
∴
∴h（x）＜h（0）=0；
当x=2n（n∈N*）时，ln（1+2n）-（2n+2n2）＜0，
∴ln（1+2n）＜2n+2n2。
定义在R上的函数f（x）满足对任意x、y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0。
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x的取值集合。
正确答案
解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1）
∴f（-1）=0。
（2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得 f（-x）=f（x）+f（-1）
又f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
又f（x）不恒为0，
∴f（x）为偶函数。
（3）由f（x+1）-f（2-x）≤0，知f（x+1）≤f（2-x）
又由（2）知f（x）=f（|x|），
∴f（|x+1|）≤f（|2-x|）
又∵f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|x+1|≤|2-x|
故x的取值集合为
设f （x）是定义在[-1，1]上的偶函数，f （x）与g（x）的图象关于x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=a （x-2）-2 （x-2）3（a为常数）．
（Ⅰ）求f （x）的解析式；
（Ⅱ）若f （x）在[0，1]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a∈（-6，6），问能否使f （x）的最大值为4？请说明理由．
正确答案
（I）∵f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=g（2-x）．
∴当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=-ax+2x3．
又∵f（x）为偶函数，
∴x∈[[0，1]时，-x∈[-1，0]，
∴f（x）=f（-x）=ax-2x3．
∴f（x）=
（II）∵f（x）为[0，1]上的增函数，
∴f’（x）=a-6x2≥0Þa≥6x2在区间[0，1]上恒成立．
∵x∈[0，1]时，6x2≤6
∴a≥6，即a∈[6，+∞）．
（III）由f（x）为偶函数，故只需考虑x∈[0，1]，
由f′（x）=0得x=
由f（
此时x=1，
当a∈（-6，6）时，f（x）的最大值不可能为4．
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）。（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，un=f（2n）（n∈N*），求证un+1＞un（n∈N）。
正确答案
解：（1）
因为
所以
（2）f（x）是奇函数。
证明：因为
所以
因此，f（x）为奇函数。
（3）证明：先用数学归纳法证明
（i）当n=1时，
（ii）假设当n=k时，
那么当n=k+1时，
由以上两步可知，对任意
因为
所以
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