函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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题型：填空题

填空题

设x＞0，y＞0且（x-1）（y-1）=2，若x+y≥k恒成立，则实数k的取值范围是______．

正确答案

若x+y≥k恒成立，则k小于或等于x+y的最小值．而x+y=（x-1）+（y-1）+2≥2+2=2+2∴k≤2+2

故答案为：（-∞，2+2]．

题型：填空题

填空题

偶函数y=f（x）在[-2，-1]上有最大值-2，则该函数在[1，2]上的最大值=______．

正确答案

因为函数f（x）是偶函数，

所以其图象关于y轴对称，

因为函数在[-2，-1]上有最大值-2，

所以该函数在[1，2]上的最大值也是-2．

故答案为：-2．

题型：填空题

填空题

某同学在研究函数f（x)=(x∈R)时，分别给出下面几个结论： ①等式f（-x）=-f（x）在时恒成立；②函数f（x）的值域为（-1，1）； ③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④方程f（x）=x在上有三个根。其中正确结论的序号有（）(请将你认为正确的结论的序号都填上)

正确答案

①②③

题型：简答题

简答题

已知函数（x≠0）是奇函数，且满足f（1）=f（4），

（Ⅰ）求实数a、b的值；

（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间(0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；

（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：①不等式f（x）+＜0对x∈（0，+∞）恒成立；②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解；若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）由，解得b=4，

由（x≠0）是奇函数，

得恒成立，

即；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

任取，

，

∴，

所以，函数f（x）在区间(0，2]单调递减；类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增。

（Ⅲ）对于条件①：由（Ⅱ）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值，

故若对x∈（0，+∞）恒成立，

则需，

∴；

对于条件②：由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）单调递增，在[-2，0)单调递减，

∴函数f（x）在[-6，-2]单调递增，在[-2，-1]单调递减，

又，，

所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为，

若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，则需，

若同时满足条件①②，则需；

答：当时，条件①②同时满足．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1，1]上的减函数。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若g(x)＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；

（Ⅲ）讨论关于x的方程=x2-2ex+m的根的个数。

正确答案

解：（Ⅰ）是奇函数，

∴，

∴，故a=0；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

∴，

上单调递减，

∴，

∴在[-1，1]上恒成立，

∴，

∴

∴只需

∴（其中λ≤-1）恒成立，

令，

则，

∴，而恒成立，

∴t＜-1。

（Ⅲ）由，

令

，

当时，，

∴在上为增函数；

当时，，

∴在上为减函数；

当x=e时，，

而

∴当，即时，方程无解；

当，即时，方程有一个根；

当，即时，方程有两个根。

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