- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知f(x)是偶函数，且在(-∞，0]上单调递减，对任意x∈R，x≠0，都有f(x)+f(
(1)指出f(x)在[0，+∞)上的单调性(不要求证明)，并求f(1)的值；
(2)k为常数，-1＜k＜1，解关于x的不等式
正确答案
解：(1)f(x)在[0，+∞）上是增函数．
∵
∴
∴
(2)因为f(x)是偶数，所以
故
∵f(x)在[0，+∞）上是增函数，
∴
∴
①若k=0，则x2＜0，∴不等式解集为
②若-1＜k＜0，则
③若0＜k＜1，则
已函数f（x）=
（1）求f（x）的表达式；
（2）设F（x）=
正确答案
（1）∵函数f（x）=
∴
解得：a=1，b=0．
∴f（x）的表达式：f（x）=
（2）F（x）=
∴F（a）=
∴F（a）+F（
∴F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（
=
已知函数f（x）=x2-2|x|．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并加以证明．
正确答案
（Ⅰ）是偶函数．
证明：函数的定义域是R，
∵f（-x）=（-x）2-2|-x|=x2-2|x|=f（x）
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）是单调递增函数．
证明：当x∈（-1，0）时，f（x）=x2+2x
设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0
∵f(x1)-f(x2)=(
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．
已知函数f（x）=2x+a•2-x是定义域为R的奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）是R上的单调函数；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（t2-k）＞0恒成立，求k的取值范围．
正确答案
（1）∵f（x）=2x+a•2-x是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
经检验当a=-1时，f（x）是奇函数，故所求a=-1；
（2）由（1）可知f（x）=2x-2-x，
∀x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)-f(x1)=(2x2-2-x2)-(2x1-2-x1)=(2x2-2x1)(1+
∵x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0
∴f（x2）-f（x1）＞0即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）是R上的递增函数，即f（x）是R上的单调函数．
（3）∵根据题设及（2）知f（t2-2t）+f（t2-k）＞0，
等价于f（t2-2t）＞-f（t2-k）=f（k-t2），即t2-2t＞k-t2，∴2t2-2t-k＞0，
∴原不等式恒成立即是2t2-2t-k＞0在t∈R上恒成立，∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范围是k＜-
已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y），
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅲ）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围。
正确答案
解：（Ⅰ）因为f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
再令x=y=-1，
得f（1）=f（-1）+f（-1），所以f（-1）=0；
（Ⅱ）因为f（xy）=f（x）+f（y），
令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
又函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），
所以函数f（x）为偶函数。
（Ⅲ）因为f（4）=1，
所以
所以
由
因为f（x）在D上是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故在（-∞，0）上是减函数，
当
不等式①
解得：
当
所以不等式①
在不等式
因为
所以
解得：
所以x的取值范围是
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