- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知定义域为R（实数集）的函数，f（x）中，f（0）=1
且当n-1≤x＜n（n∈Z）时，f（x）=（x-n）•f（n-1）+f（n）
（Ⅰ）求f（2）的值及当x∈[3，4）时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）“定义：设g（x）为定义在D上的函数，若存在正数M，对任意x∈D都有|g（x）|≤M，则称函数g（x）为D上有界函数；否则，称函数g（x）为D上无界函数．”试证明f（x）为R上无界函数．
正确答案
（Ⅰ）由题意得f（0）=（0-1）f（0）+f（1），
∵f（0）=1∴f（1）=2
同理得：∴f（2）=4（2分）
又对任意n∈Z，f（n）=（n-n-1）f（n）+f（n+1）
即 2f（n）=f（n+1）（4分）
当n∈N+时，f（n）=2f（n-1）=22f（n-2）=…=2nf（0）=2n
当n∈N-时，f（0）=2f（-1）=22f（-2）=…=2-nf（n），
即 f（n）=2n． （7分）
综上可得：f（n）=2n（n∈Z）
当x∈[3，4）时，f（x）=f（3）（x-4）+f（4）=8x-16（8分）
（Ⅱ）f（x）是定义域上的增函数．
任意取两个实数x1，x2，设x1＜x2
①若n-1≤x1＜x2＜n，则f（x1）-f（x2）=f（n-1）（x1-n）+f（n）-f（n-1）（x2-n）-f（n）
=f（n-1）（x1-x2）=2n-1（x1-x2）＜0（12分）
②若n1-1则x1＜n1n-1＜x2＜n，
依①可得 f（x2）…f（n-1）
事实上 f（n-1）=2n-1，f(n1)=2n1，∵n1，n-1
∴f（n1），f（n-1）∴f（x2）≥f（n1）f(x1)=f(n1-1)(x1-n1)+f(n1)=2n1-1(x1-n1)+f(n1)＜f(n1)≤f(x2)
综上所述：f（x1）＜f（x2）（16分）
所以，f（x）是定义域上的增函数．
（Ⅲ）对任意M＞0，取M0＞M，且log2M0∈Z，
记x0=log2M0
则：f(x0)=f(log2M0)=2log2M0=M0＞M
所以 f（x）为R上无界函数． （20分）
已知f(x)是定义在(-1，1)上的偶函数，且在(0，1)上为增函数，若f(a-2)-f(4-a2)＜0，求实数a的取值范围．
正确答案
解：由f(a-2)-f(4-a2)＜0，得f(a-2)＜f(4-a2)，
又f(x)在(-1，1)上为偶函数，且在(0，1)上递增，
∴
解得：
已知a＞0且a≠1，
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）试判定函数f(x)的奇偶性与单调性；
（3）若对于函数f(x)，当x∈（-1，1）时，有f(1-m)+f(3m-2)＜0恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）令
所以，
（2）因为
所以函数f(x)为奇函数，
任取
因为当a＞0且a≠1，恒有
（3）因为f(x)为奇函数，所以由f(1-m)+f(3m-2)＜0得，f(1-m)＜-f(3m-2)=f(2-3m)，
又f(x)为增函数，
所以，有
所以，实数m的取值范围是（
已知函数f（x）=a-
（1）证明：对于任意的a∈R，f（x）是R上的增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由。
正确答案
（1）证明：任意
则
∴
又
∴
所以对于任意的a∈R，f（x）是R上的增函数；
（2）解：存在实数a=1，使得函数f（x）为奇函数。
证明：由于定义域x∈R是关于原点对称，且此时f（x）+f（-x）=0成立（过程略）。
已知函数f（x）=x+
(Ⅰ)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(Ⅱ)用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；
(Ⅲ)函数f（x）在（-1，0）上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）
正确答案
解：(Ⅰ)函数为奇函数，
(Ⅱ)设
∴
∴
∴
因此函数f（x）在（0，1）上是减函数；
(Ⅲ)f（x）在（-1，0）上是减函数。
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