- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
设奇函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0+∞），且在（0，+∞）上为增函数．
（1）若f（1）=0，解关于x的不等式：f（1+logax）＞0（0＜a＜1）．
（2）若f（﹣2）=﹣1，当m＞0，n＞0时，恒有f（m
正确答案
解：（1）∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（﹣∞，0）也单调递增
∵f（1）=﹣f（﹣1）=0
∴f（﹣1）=0
当x＞1或﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；
当0＜x＜1或x＜﹣1时，f（x）＜0
∵f（1+logax）＞0
∴1+logax＞1或﹣1＜1+logax＜0
∵0＜a＜1
∴0＜x＜1或a﹣1＜x＜2﹣2
（2）∵f（﹣2）=﹣1
∴f（2）=﹣f（﹣2）=1
∵m＞0，n＞0时，恒有f（m
∴f（4）=2f（2）=2，f（﹣4）=﹣2，f（1）=2f（1），
则f（1）=﹣f（﹣1）=0
∵|f（t）+1|＜1
∴﹣2＜f（t）＜0
∴﹣4＜t＜﹣1
已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x，x′∈R，均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）试证明：函数y=f（x）在R上是单调函数；
（2）判断y=f（x）的奇偶性，并证明．
（3）解不等式f（x+3）+f（4x）≤2．
（4）试求函数y=f（x）在[m，n]（mn＜0且m，n∈R）上的值域．
正确答案
（1）任意设x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1），
因为x10．又因为对任意x＞0都有f（x）＜0，所以f（x2-x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）．
所以函数f（x）在R上单调递减．
（2）令x=x′=0，有f（0）=0，令x'=-x，则f（-x）+f（x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（3）因为f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-3，f（2）=2f（1），解得f（1）=-1，f（2）=-2，
所以f（-2）=-f（2）=2．所以不等式不等式f（x+3）+f（4x）≤2等价为f[4x+（x+3）]≤f（-2），
因为函数f（x）在R上单调递减，所以5x+3≥-2，即x≥-1．
所以不等式的解集为[-1，+∞）．
（4）由（1）知函数f（x）在[m，n]上单调递减，所以函数f（x）的值域为[f（-n），f（-m）]．
已知定义在R上的函数
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t2）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围。
正确答案
解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴
∴b=1，
∴
∴a=1，
∴a=b=1；
（2）
证明：设
则
∴
∴
∴f（x）在R上是减函数。
（3）不等式
又f（x）是R上的减函数，
∴
∴
已知函数f（x）=a-
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-（m-2）t）+f（t2-m+2）＞0 恒成立，求实数m的取值范围。
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即
∴a-2=a，即a=1，
即
（Ⅱ）设
则
∵
即
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数。
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，且是奇函数，
∵
∴
∴
即
只需
解之得
设函数f(x)=log12
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）若x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(
正确答案
（1）函数f（x）是奇函数
由
（2）不妨设u(x)=
又f(x)=log12u(x)，∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）由题意，x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(
1
2
)3＞m，解得m＜-
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