- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知
（1）探索函数f(x)的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由。
正确答案
解：（1）对任意x∈R，都有
∴f(x)的定义域是R，
设
则
∴
∴f(x)是R上的增函数。
（2）若存在实数a，使函数f(x)为R上的奇函数，则
下面证明a=1时，
∴f(x)为R上的奇函数，
∴存在实数a=1，使函数f(x)为R上的奇函数。
定义在实数集上的函数f（x）是单调减函数，且满足f（x）+f（﹣x）=0，如果有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．
正确答案
解：由f（x）+f（﹣x）=0，?f（﹣x）=﹣f（x），
得函数f（x）为奇函数，
又在R上为单调减函数
∴f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，即f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），
∴f（1﹣m）＜f（m2﹣1），1﹣m＞m2﹣1，
∴﹣2＜m＜1．
∴m的取值范围为：（﹣2，1）．
设a>0，
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数。
正确答案
解：（1）∵
∴f（x）-f（-x）=0，
∴
∵
∴当
∴a=1。
（2）在（0，+∞）上任取
∵e>1，
∴
∴
∴
∴f（x）是在[0，+∞）上的增函数。
已知函数
（1）证明：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）- 5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）所有不等于零的实数x都成立一个等式，并加以证明。
正确答案
解：（1）证明：函数定义域为{x|x≠0}
∴f（x）为奇函数
设
∴f(x）在(0，+∞)上是增函数，又f(x)是奇函数
∴f(x ）在（-∞，0）上也是增函数，故f(x)在（-∞，0）和(0，+∞)上单调递增。
（2）f(4)-5f(2)g(2)=0，f(9)-5f(3)g(3)=0
猜想：
∵
∴等式成立
∴等式为
已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：函f（x）是奇函数；
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）若定义在（-2，2）上的函数f（x）满足f（-m）+f（1-m）＜0，求实数m的取值范围．
正确答案
（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
∴函数f（x）是奇函数；…（5分）
（2）证明：设x2＞x1则x1-x2＜0
∵当x＜0时，f（x）＞0
∴f（x1-x2）＞0
∴f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）+f（x2）＞f（x2）
∴函数f（x）是R上的减函数
（3）∵f（-m）+f（1-m）＜0，∴f（-m）＜f（m-1），
且f（-m）+f（1-m）=f（1-2m）
∴
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