- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知f（x）=loga
（1）求f（x）的定义域．
（2）证明f（x）为奇函数．
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．
正确答案
（1）f（x）=loga
解得f（x）=loga
（2）∵f（x）=loga
∴f（-x）=loga
∴f（x）为奇函数．
（3）∵f（x）=loga
∴由f（x）＞0，得loga
当0＜a＜1时，有0＜
当a＞1时，有
∴当a＞1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（0，1），
当0＜a＜1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（-1，0）．
已知函数f（x）是奇函数，其定义域为（﹣1，1），且在[0，1）上是增函数，若f（a﹣2）+f（3﹣2a）＜0，试求a的取值范围．
正确答案
解：函数f（x）是奇函数，且在[0，1）上是增函数，
则f（x）在（﹣1，0]也是增函数，即f（x）在（﹣1，1）是增函数，
f（a﹣2）+f（3﹣2a）＜0
∴f（a﹣2）＜﹣f（3﹣2a）
∴f（a﹣2）＜f（2a﹣3），
又由f（x）在（﹣1，1）是增函数，
则有
解可得1＜a＜2，
故a的取值范围是1＜a＜2．
已知函数f（x）=x+
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断并证明函数f（x）在［1，2］上的单调性，并求出函数f（x）在［1，2］上的最值。
正确答案
解：（1）f（1）=1+m=2，解得m=1；
（2）∵f（x）的定义域关于原点对称，
且f（x）=x+
∴f（x）是奇函数；
（3）函数在［1，2］上为增函数。
证明：设x1、x2是［1，2］上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x1+
=x1-x2-
当1≤x1＜x2≤2时，x1x2＞1，x1x2-1＞0，
从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=
其最小值为 f（1）=2，最大值为f（2）=
已知函数f(x)=
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)＜
（Ⅲ）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
正确答案
（Ⅰ）∵f（-x）=-f（x），即
（Ⅱ）∵
∴2x＜3，∴x＜log23
（Ⅲ）任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=
∵y'=2x在R上为增函数，x1＜x2∴2X1＜2X2又∵2X1+1＞0，2X2+1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即∴f（x）在R上为增函数．
函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)=
（1）求f（-1）的值；
（2）求当x＜0时，函数的解析式；
（3）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．
正确答案
（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1；
（2）设x＜0，则-x＞0，所以f(-x)=
又f（x）为奇函数，所以上式即-f(x)=
所以f（x）=
（3）设x1，x2是（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=(
因为x2-x1＞0，x1x2＞0，所以2（
因此f(x)=
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