- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
函数y= f(x)（x≠0）是奇函数，且当x∈(0，+∞)时是增函数，若f(1)=0，求不等式f[x(x-
正确答案
解：
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（2+x）=f（2-x）．
（Ⅰ）证明：f（x+4）=f（x）；
（Ⅱ）当x∈（4，6）时，f（x）=
正确答案
（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，
所以f（-x）=f（x），（1）（2分）
又f（2+x）=f（2-x）⇒f（2+2+x）=f（2-2-x）⇒f（4+x）=f（-x）（2）
由（1）、（2）得f（x+4）=f（x）（5分）
（Ⅱ）因为当x∈（4，6）时，f（x）=
当0＜x＜2时，4＜x+4＜6，
由（Ⅰ）知f（x）=f（x+4）
=
=
f′（x）=
令f′（x）=0，得x=-3或x=l，因为0＜x＜2，所以x=1．
因为x∈（0，1）时，f′（x）＜O，x∈（1，2）时，f′（x）＞O，
所以函数以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．（12分）
设a＞0，f(x)=
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
正确答案
（1）依题意，对一切x∈R，有f（-x）=f（x），即
∴(a-
（2）设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+
=(ex2-ex1)(
由x1＞0，x2＞0，x2-x1＞0，
得x1+x2＞0，ex2-x1-1＞0，
得1-ex2+x1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f(x)=
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）判断并证明函数在区间[0，1]上的单调性．
正确答案
（1）当x=0，x=-1时，f(0)=0，f(-1)=-
（2）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，则f(-x)=
因为函数f（x）为偶函数，所以有f（-x）=f（x）
既f(x)=
所以f(x)=
（3）设0＜x1＜x2＜1，则f(x2)-f(x1)=
∵0＜x1＜x2＜1
∴x2-x1＞0，x1x2-1＜0…（14分）
∴
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在[0，1]为单调减函数…（16分）
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），（x、y∈R），f（1）=-1．
（1）求f（0）和f（-2）的值；
（2）若f（5）=m，试用m表示f（-5）；
（3）试判断f（x）的奇偶性（要写出推理过程）．
正确答案
（1）当x=1，y=0时，∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），
∴f（1）=f（1）+f（0）+0，
∴f（0）=0．
当x=1，y=-1时，f（0）=f（1）+f（-1）+0，∴f（-1）=1．
当x=-1，y=-1时，f（-2）=f（-1）+f（-1）-4=-2．
即f（-2）=-2．
（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），
令y=-x，所以f（x-x）=f（x）+f（-x）+2xy（x-x），
所以f（x）+f（-x）=0
函数是奇函数，
∵f（5）=m，
∴f（-5）=-f（5）=-m．
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），
令y=-x，所以f（x-x）=f（x）+f（-x）+2xy（x-x），
所以f（x）+f（-x）=0．
即f（-x）=-f（x）
函数是奇函数，
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