- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．
（1）解关于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）不等式f（x）+a-1＞0即为|x-2|+a-1＞0，
当a=1时，解集为x≠2，即（-∞，2）∪（2，+∞）；
当a＞1时，解集为全体实数R；
当a＜1时，解集为（-∞，a+1）∪（3-a，+∞）．
（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x-2|＞-|x+3|+m对任意实数x恒成立，
即|x-2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）
又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，于是得m＜5，
故m的取值范围是（-∞，5）．
已知函数f(x)=loga（x+1），g(x)=loga（1-x）（a＞0且a≠1），且h(x)=f(x)+g(x)。
（1）求函数h(x)的定义域；
（2）判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由；
（3）求不等式f(x)＞g(x)的解集。
正确答案
解：（1）由题知：
∴函数h(x)的定义域为（-1，1）。
（2）证明：
∴函数h(x)的是偶函数。
（3）由题知：
①当0＜a＜1时，有
∴不等式f(x)＞g(x)的解集为{x|-1＜x＜0}；
②当a＞1时，有
∴不等式f(x)＞g(x)的解集为{x|0＜x＜1}；
综上所述：当0＜a＜1时，不等式f(x)＞g(x)的解集为{x|-1＜x＜0}；
当a＞1时，不等式f(x)＞g(x)的解集为{x|0＜x＜1}。
已知奇函数f（x），在x≥0时的图象是如下图所示的抛物线的一部分。
（Ⅰ）请补全函数f（x）的图象；
（Ⅱ）写出函数f（x）的表达式；
（Ⅲ）写出函数f（x）的单调区间。
正确答案
解：（1）图“略”
（2）f（x）=
（3）单调区间是：（-∞，1]，（-1，1）[1，+∞）
已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xlg（2﹣x），求f（x）的解析式．
正确答案
解∵f（x）是奇函数，可得f（0）=﹣f（0），
∴f（0）=0．
当x＞0时，﹣x＜0，由已知f（﹣x）=xlg（2+x），
∴﹣f（x）=xlg（2+x），即f（x）=﹣xlg（2+x）（x＞0）．
∴f（x）=
即f（x）=﹣xlg（2+|x|）（x∈R）．
已知幂函数f（x）=x-m2+2m+3（m∈Z） 为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=
正确答案
（1）∵幂函数f（x）=x-m2+2m+3（m∈Z） 为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
∴-m2+2m+3＞0
∴-1＜m＜3
∵m∈Z，函数f（x）为偶函数
∴m=1，此时f（x）=x4；
（2）g（x）=
∵g（x）=0的两个实根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，
∴
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