热门试卷

解：（1）f（x）的定义域为R，设

则=

，

即，所以不论a为何实数f（x）总为增函数。

（2）∵f（x）为奇函数，，

解得：a=，∴f（x）=-；

（3）由（2）知f（x）=，∵，∴，

∴所以f（x）的值域为（-，）。

证明：（1）设，则，

又，

∴，

∴函数是R上的减函数。

（2）由，得，

即，

又，

∴，

即函数是奇函数。

（Ⅰ）设-∞＜x1＜x2≤1，…（2分）

所以，f（x1）-f（x2）=（x12-2x1-2）-（x22-2x2-2）=（x1-x2 ）（x1+x2-2），…（4分）

因为-∞＜x1＜x2，所以，x1-x2＜0，x1+x2-2＜0，

所以，f（x1）-f（x2）＞0，…（6分）

所以，f（x1）＞f（x2），

所以函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数．…（8分）

（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-mx=x2-（2+m）x-2，…（10分）

又因为g（x）是偶函数，2+m=0，

∴m=-2．  …（12分）

（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）=，

∵≤φ（2x）≤，且1＜＜＜2，

∴φ（2x）∈（1，2）满足（1）的条件；

对任意的x1，x2∈[1，2]，|φ（2x1）-φ（2x2）|

=|x1-x2|•，

∵3＜++，

所以0＜＜，

令=L，则0＜L＜1，

可得|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|，满足（2）的条件

所以φ（x）∈A成立．…（8分）

（Ⅱ）反证法：

设存在两个x0、x0/∈（1，2）且x0≠x0/，使得x0=φ（2x0），x0/=φ（2x0/），则

由（I）的结论，得|φ（2x0）-φ（2x0/）|≤L|x1-x2|，

得|x0-x0/|≤L|x1-x2|，所以L≥1，与定义0＜L＜1矛盾，故假设不成立，

可得不存在两个x0、x0/∈（1，2）且x0≠x0/，使得x0=φ（2x0），x0/=φ（2x0/），

因此如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么这样的x0是唯一的．…（13分）