热门试卷

解：（Ⅰ），，

令f(x)= f(-x)，则，无解，∴f(x)不是偶函数；

令f(-x)=-f(x)，则a=0，显然a=0时，f(x)为奇函数；

综上，当a=0时，f(x)为奇函数；当a≠0时，f(x)不具备奇偶性。

（Ⅱ）函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，

证明：任取，且，则

，

∵，且，

∴，，

从而，故，

∴f(x)在(-∞，0)上单调递增。

证明：（1）取，

则，

即，

又，

∴。

（2）易知，函数的定义域关于原点对称，

取x=0，则，

∵，

∴，

即，

∴是偶函数。

（Ⅰ）因为函数g（x）=f（x）-2为奇函数，

所以，对任意的x∈R，都有g（-x）=-g（x），即f（-x）-2=-f（x）+2．

又f（x）=x3+ax2+3bx+c

所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2．

所以

解得a=0，c=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x3+3bx+2．

所以f'（x）=3x2+3b（b≠0）．

当b＜0时，由f'（x）=0得x=±．x变化时，f'（x）的变化情况如下：

x∈(-∞，-)，时f′（x）＞0

x∈(-，)，时f′（x）＜0

x∈(，+∞)，时f′（x）＞0

所以，当b＜0时，函数f（x）在(-∞，-)上单调递增，

在(-，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增．

当b＞0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．

解：（1），x∈R，

又，

所以，函数f(x)是奇函数。

（2），

解得：y∈(-1，1)，

即函数f(x)的值域是(-1，1)。