热门试卷

解：①当x＜0时，-x＞0，则f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-(x2+2x+3)=-f(x)；

②当x=0时，-x=0，有f(-x)=-f(x)=0；

③当x＞0时，-x＜0，则f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x)；

综上知，对任何x∈R，总有f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数。

（Ⅰ）由f(x)=loga，f(-x)=loga=logaf(x)+f(-x)=loga+loga=loga=0

∴=1恒成立，b2=1，b=±1经检验b=1

（Ⅱ）由x∈[2，4]时，f(x)=loga＞loga恒成立，

①当a＞1时

∴＞＞0对x∈[2，4]恒成立

∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立

设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]

则g（x）=-x3+7x2+x-7g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-)2+

∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0

∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）min=g（2）=15

∴0＜m＜15

②当0＜a＜1时

由x∈[2，4]时，f(x)=loga＞loga恒成立，

∴＜对x∈[2，4]恒成立

∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立

设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]

由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）max=g（4）=45

∴m＞45

综上，当a＞1时，0＜m＜15；

当0＜a＜1时，m＞45

（Ⅲ）∵f(2)+f(3)++f(n)=loga3+loga+loga++loga+loga=loga(3×××××)=loga

∴af(2)+f(3)++f(n)=

当n=2时，=3，2n-2=2，∴af（2）+f（3）++f（n）＞2n-2

当n=3时，=6，2n-2=6，∴af（2）+f（3）++f（n）=2n-2

当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=＜2n-2

下面证明：当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=＜2n-2

当n≥4时，2n-2=Cn0+Cn1+Cn2++Cnn-1+Cnn-2=Cn1+Cn2++Cnn-1＞n++n=＞

∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=＜2n-2

h(4)=-24+2=-4＜0n≥4时，-2n+2＜0，即＜2n-2

∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=＜2n-2．

解：（1）由对数定义有0，

则有，

解得（1）-1＜x＜1，（2）无解，

所以f(x)的定义域为(-1，1)。

（2）对定义域内的任何一个x，都有

，

则f（x）是定义域上的奇函数。

解：(1)f(x)的定义域是R，

又f(-x)=-f(x)，

∴f(x)是奇函数。

(2)f(x)的定义域是R，

又f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x)，

∴f(x)是偶函数．

(3)函数f(x)的定义域是(-∞，-1)∪(-1，+∞)，不关于原点对称，

∴f(x)是非奇非偶函数．