- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，g（x）=f（|x|）且g（1）=0，求使g（x）＜0成立的x的范围______．
正确答案
∵g（x）=f（|x|），
∴函数g（x）是偶函数，且x≥0时，g（x）=f（x）
∵函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，在（∞-，0）上为减函数，
又g（1）=0，
∴g（x）＜0⇔g（|x|）＜g（1）
∴|x|＜1，解得-1＜x＜1，
故答案为（-1，1）．
设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln
正确答案
（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），
b=-12时，由f/(x)=2x-
当x∈[1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，
所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）min=f（2）=4-12ln3
（2）由题意f/(x)=2x+
即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x2+2x+b，则
（3）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）
则h/(x)=3x2-2x+
∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．
取x=
显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式ln(
已知函数f（x）是定义在（-2，2）上的奇函数且是减函数，若f（m-1）+f（1-2m）≥0，求实数m的取值范围．
正确答案
因为函数的定义域为（-2，2），所以
由函数f（x）是定义在（-2，2）上的奇函数，由f（m-1）+f（1-2m）≥0，
得f（m-1）≥-f（1-2m）=f（2m-1）．…（7分）
∵函数f（x）在（-2，2）上是减函数，得m-1≤2m-1，解得m≥0．…（10分）
∴0≤m＜
∴实m的取值范围为0≤m＜
已知函数f（x）=
正确答案
函数f（x）=
又f（0）=0，即a=0
f（x）+f（-x）=0，即
f（x）=
∴f（
故答案为：
定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，满足f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集为______．
正确答案
∵定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增．
∵f（1）=0，∴不等式f（x）＞0等价于f（x）＞f（1）或f（x）＞f（-1）
∴-1＜x＜0或x＞1
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．
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