- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知x2-20x+64≤0的解集为A，当x∈A时f(x)=log2
（1）求集合B；
（2）当x∈B时不等式1+2x+4xa≥0恒成立，求a的最小值．
正确答案
（1）A={x|4≤x≤16}
f（x）=（log2x-3）（log2x-2）=（log2x）2-5log2x+6
令t=log2x，则t∈[2，4]，y=t2-5t+6=(t-
5
2
)2-
∵t∈[2，4]，
∴t=
∴B=[-
（2）分离参数可得：a≥-(
设g(x)=-(
1
4
)x-(
1
2
)x
当x∈B时不等式1+2x+4xa≥0恒成立，可转化为a≥g（x）max
∵g(x)=-(
1
4
)x-(
1
2
)x在[-
∴g(x)max=g(2)=-
∴a≥-
已知偶函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且当x＞O时，f（x）=log2x，则满足f（x）=f（
正确答案
∵偶函数f（x），令x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=log2（-x）
∴f（x）=f（-x）=log2（-x）
∵f（x）=f（
则x=
x=-
∴1-2-3-6=-10
故答案为：-10．
已知an=2-n+3，bn=2n-1，则满足anbn+1＞an+bn的正整数n的值为______．
正确答案
∵anbn+1＞an+bn
∴23-n2n-1+1＞23-n+2n-1
∴23-n+2n-1＜5
cn=23-n+2n-1cn+1=22-n+2n
cn+1-cn=22-n+2n-23-n-2n-1=2n-1-22-n
n≥2时，数列{Cn}单调递增
∵n=1时，23-n+2n-1=5
n=2时，23-n+3n-1=4＜5
n=3时，23-n+2n-1=5
∴n=2
故答案为：2
已知x＞0，y＞0，且
正确答案
∵
∵x+2y＞m2+2m恒成立，
∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2
故答案为：-4＜m＜2．
已知函数f（x）满足下列条件：（1）函数f（x）定义域为[0，1]；（2）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）对于满足条件x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1的任意两个数x1，x2，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅱ）证明：对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x；
（Ⅲ）不等式f（x）≤1.9x对于一切x∈[0，1]都成立吗？
正确答案
（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，
则0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．（5分）
（Ⅱ）由已知条件可得f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴当x=0时，f（0）=0≤2×0，
∴当x=0时，f（x）≤2x．
假设存在x0∈（0，1]，使得f（x0）＞2x0，
则x0一定在某个区间x0∈(
设x0∈(
则f（2x0）＞4x0，f（4x0）＞8x0，┅，f（2k-1x0）＞2kx0．
由x0∈(
可知
∴f（2k-1x0）≤f（1）=1，
又f（2k-1x0）＞2kx0＞1．
从而得到矛盾，因此不存在x0∈（0，1]，使得f（x0）＞2x0．
∴对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x．（10分）
（Ⅲ）取函数f(x)=
则f（x）显然满足题目中的（1），（2）两个条件．
任意取两个数x1，x2，使得x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，
若x1， x2∈[0，
则f（x1+x2）≥0=f（x1）+f（x2）．
若x1，x2分别属于区间[0，
则f（x1+x2）=1=f（x1）+f（x2），
而x1，x2不可能都属于(
综上可知，f（x）满足题目中的三个条件．
而f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．
即不等式f（x）≤1.9x并不对所有x∈[0，1]都成立．（14分）
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