- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）是增函数，判断f（x）在（-∞，0）上的增减性，并证明你的结论．
正确答案
f（x）在（-∞，0）上单调递增
设x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0
根据假设：f（x）在[0，+∞）是增函数
所以f（-x1）＞f（-x2）
又f（x）是奇函数
所以-f（x1）＞-f（x2）
所以f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在（-∞，0）上单调递增
若对于任意实数x，不等式|x+2|-|x-1|＞a恒成立，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（1）设f（x）=|x+2|-|x-1|，则有f（x）=
当x≤-2时，f（x）有最小值-3；当-2≤x≤1时，f（x）有最小值-3；
当x≥1时，f（x）=3．综上f（x）有最小值-3，所以，a＜-3．
故答案为：a＜-3．
若函数f(x)=
正确答案
因为f(-x)=
对比f(x)=
又本题中f(x)=
故可令k=1，由于函数f(x)=
由①知，m+n=f（k）+f（-k）=1
故答案为1
设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是______．
正确答案
当x≥0时，f（x）=x2
∵函数是奇函数
∴当x＜0时，f（x）=-x2
∴f（x）=
∴f（x）在R上是单调递增函数，
且满足2f（x）=f（
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（
∴x+t≥
即：x≤（1+
∴t+2≤（1+
解得：t≥
故答案为：[
设f（x）=
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）与f（x）关于直线y=x对称，求g（x）的解析式和定义域．
（3）求解关于x的不等式g（x）＞log2（1+x）．
正确答案
（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=
检验：当a=1时，f（x）=
得f（-x）=
（2）令y=
∴x=log2
∵函数g（x）图象与f（x）图象关于直线y=x对称，
∴函数y=g（x）是函数f（x）的反函数，故g（x）=log2
（3）g（x）＞log2（1+x），即
解这个不等式组，得0＜x＜1，原不等式的解集是（0，1）
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