热门试卷

解：（1）由f（x）=f（﹣x）得到：f（﹣1）=f（1）

∴log4（4﹣1+1）﹣k=log4（4+1）+k

∴

（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点即方程有且只有一个实根

化简得：方程有且只有一个实根

令t=2x＞0，则方程有且只有一个正根

①，不合题意；

②或﹣3若，不合题意；若

③若一个正根和一个负根，则，即a＞1时，满足题意．

所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=﹣3}

解：（1）由，得-1＜x＜1，

所以函数f（x）的定义域为（-1，1）；

因为f（-x）+f（x）=log2+log2=log2=log21=0，

所以f（-x）=-f（x），

即f（x）是奇函数；

（2）方程f（x）=log2（x-k）有实根，

也就是方程=x-k，即k=x-在（-1，1）内有解，

所以实数k属于函数y=x-=x+1-在（-1，1）内的值域。

令x+1=t，则t∈（0，2），

因为y=t-在（0，2）内单调递增，

所以t-∈（-∞，1），

故实数k的取值范围是（-∞，1）；

（3）设g（x）=f（x）-x-1=log2-x-1（-1＜x＜1），

用“二分法”逐步探求，先算区间（-1，1）的中点g（0）=-1＜0；

由于g（x）在（-1，1）内单调递减，

于是再算区间（-1，0）的中点g（-）=log23-＞0；

然后算区间（-，0）的中点 g（-）＜0；

最后算区间（-，-）的中点g（-）＞0，

所以g（-）·g（-）＜0，

所以函数g（x）在区间（-，-）内有零点x0，

即方程f（x）=x+1在（-，-）内有实根x0，

又该区间长度为，

因此，所求的一个区间可以是（-，-）。

（答案不唯一）

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，

∴f（0）=2f（0） ∴f（0）=0；

（2）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）

∴f（1）=f（1）2，

∵当x≠0时，f（x）≠0，

∴f（1）=1，

令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），

f（2x）=2f（x）+2x2，f（2x）=f（2）f（x），

∴f（2）f（x）=2f（x）+2x2， ∵f（2）=2f（1）+2=4，

∴f（x）=x2，f（﹣x）=f（x）

∴f（x）为偶函数；

（3）∵f（x）=alnx有两个不同实数解，

∴令h（x）=f（x）﹣alnx=x2﹣xlnx，

∴h'（x）=2x﹣，令h'（x）=0，解得x=±，

当﹣＜x＜时，h'（x）＜0，f（x）单调减函数；

当x≥或x≤﹣时，h'（x）＞0，f（x）单调增函数；

如下图：要求h（x）与x轴有两个交点，可得h（﹣）=0，

∴a=

解：（1）因为f（-1）=0，

所以a-b+1=0

因为f（x）的值域为[0，+∞），

所以

所以b2-4（b-1）=0

解得b=2，a=1

所以f（x）=（x+1）2所以。

（2）因为g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1

=

所以当或时g（x）单调，

即k的取值范围是（-∞，-2]或[6，+∞）时，g（x）是单调函数。

（3）因为f（x）为偶函数，

所以f（x）=ax2+1

所以

因为mn＜0，依条件设m>0，则n＜0

又m+n>0

所以m>-n>0

所以|m|>|-n|

此时F（m）+F（n）=am2+1-an2-1=a（m2-n2）>0，

即F（m）+F（n）>0。