- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x。
（1）求f(1)，f(2)的值；
（2）求f(x)的解析式并画出简图；
（3）讨论方程f(x)=k的根的情况。
正确答案
解：（1）
∵
∴
（2）当x≤0时，-x≥0，于是
∵
∴
∴
函数图像“略”。
（3）当k＜-1时，方程无实根；
当k=-1或k＞0时，有2个根；
当k=0时，有3个根；
当-1＜k＜0时，有4个根。
已知函数
(Ⅰ)求实数m的值；
(Ⅱ)若函数f(x)的区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围。
正确答案
解：(Ⅰ)设x＜0，则-x＞0，
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x，
又f(x)为奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，
于是当x＜0时，f(x)=x2+2x=x2+mx，
所以m=2．
(Ⅱ)要使f(x)在[-1，a-2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
故实数a的取值范围是(1，3]。
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≥0时，
（1）求f(0)，f(-1)；
（2）求函数f(x)的表达式；
（3）若f(a-1)-f(3-a)＜0，求a的取值范围。
正确答案
解：（1）
（2）令x＜0，则-x＞0，
∴x＜0时，
∴
（3）∵
∴f(x)在
由于
∴
即a的取值范围是（2，+∞）。
已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（﹣1）=﹣2．
（1）求f（0）；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）f（x）在[﹣2，1]上的值域．
正确答案
解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=﹣x，得f（﹣x+x）=f（x）+f（﹣x）
即f（0）=f（x）+f（﹣x）
∴f（x）+f（﹣x）=0，
即f（﹣x）=﹣f（x）
因此f（x）为R上的奇函数，
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0
∴f（x2﹣x1）＞0
又∵f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）+f（x1）
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，可得f（x1）＜f（x2）
∴f（x）为奇函数
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，f（﹣2）=2f（﹣1）=﹣4
∵f（x）为R上的增函数，
∴当﹣2≤x≤1时，f（﹣2）≤f（x）≤f（1），
即函数在[﹣2，1]上的值域为[﹣4，2]
已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0时的表达式；
（3）若关于x的方程f（x）=ax，（a∈R）有解，求a的取值范围
正确答案
解：（1）由f（1）=f（3），f（2）=2
知，函数的顶点坐标为（2，2），
从而有
∴
（2）设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）=﹣x2﹣4x﹣2，
∵f（x）是奇函数，
∴﹣f（x）=﹣x2﹣4x﹣2，
∴f（x）=x2+4x+2（x＜0）；
（3）由题意，只需﹣x2+4x﹣2=ax在（0，+∞）上有解，
∴
即a的取值范围是
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