函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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题型：填空题

填空题

若函数f（x）=kx2+（k-1）x+3是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是（）。

正确答案

（-∞，0）

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)，

（1）求函数f(x)的定义域；

（2）判断f(x)的奇偶性；

（3）方程f(x)=x+1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为的区间(a，b)，使x0∈(a，b)；如果没有，请说明理由？（注：区间(a，b)的长度=b-a）

正确答案

解：（1）要使函数有意义，则，

∴-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）。

（2）∵，

∴f（x）为奇函数。

（3）由题意知方程f（x）=x+1等价于，

可化为，

设，x∈（-1，1），

则，g（0）=2-1=1＞0，

所以，故方程在上必有根；

又因为，

所以，

故方程在上必有一根，

所以满足题意的一个区间为。

题型：填空题

填空题

已知y=x2+mx+1为定义在R上的偶函数，则实数m=（）．

正确答案

题型：简答题

简答题

（1）已知是奇函数，求常数m的值；

（2）画出函数y=|3x-1|的图象，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x-1|=k无解？有一解？有两解？

正确答案

解：（1）m=1；

（2）函数的图象如右图所示，

当k＜0时，直线y=k与函数的图象无交点，即方程无解；

当k=0或k≥1时，直线y=k与函数的图象有唯一的交点，

所以方程有一解；

当0＜k＜1时，直线y=k与函数的图象有两个不同交点，

所以方程有两解。

题型：简答题

简答题

已知（a＞0且a≠1）.

（1）求f(x)的定义域；

（2）证明f(x)为奇函数；

（3）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。

正确答案

解：（1），

∴，即，

∴-1＜x＜1，

∴函数f(x)的定义域为（-1，1）。

（2），

∴，

∴f(x)为奇函数。

（3）当a＞1时，，则，则，

∴ ，即，

因此，当a>1时，使的x的取值范围为（0，1）；

当0＜a＜1时，，则，则，

解得：，

因此，当0＜a＜1时，使的x的取值范围为（-1，0）。

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