· 函数的基本性质

· 函数奇偶性的性质及其判断

函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

正确答案

解：（1）函数的定义域关于原点对称，

①当a=0时，函数为偶函数；

②当a≠0时，函数非奇非偶．

（2）

∵函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数

∴ 在x∈[3，+∞）上恒成立

∴

∴

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

正确答案

解：（1）函数的定义域关于原点对称，

①当a=0时，函数为偶函数；

②当a≠0时，函数非奇非偶．

（2）

∵函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数

∴ 在x∈[3，+∞）上恒成立

∴

∴

1

题型：简答题

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简答题

定义在[-1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[-1，0]时，(a∈R)，

(Ⅰ)写出f(x)在[0，1]上的解析式；

(Ⅱ)求f(x)在[0，1]上的最大值；

(Ⅲ)若f(x)是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围。

正确答案

解：(Ⅰ)设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，

，

∴；

(Ⅱ)∵，

令t=2x，t∈[1，2]，

∴，

当，即a≤2时，g(t)max=g(1)=a-1；

当，即2＜a＜4时，；

当，即a≥4时，g(t)max=g(2)=2a-4；

综上：当a≤2时，f(x)最大的值为a-1；当2＜a＜4时，f(x)最大值为；当a≥4时，f(x)最大值为2a-4。

(Ⅲ)因为函数f(x)在[0，1]上是增函数，

所以f′(x)=aln2·2x-ln4·4x=2xln2(a-2·2x)≥0恒成立，

∴a-2·2x≥0恒成立，a≥2·2x恒成立，

∵2x∈[ 1，2]，

∴a≥4．

1

题型：简答题

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简答题

已知f0（x）=xn，，其中k≤n（n，k∈N+），设F（x）=，x∈[-1，1]。

（1）写出f1（1）；

（2）证明：对任意的x1，x2∈[-1，1]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）-n-1。

正确答案

解：（1）由已知推得

从而有.

（2）当时，

当时，

所以F（x）在[0，1]上为增函数

因函数F（x）为偶函数，

所以F（x）在[-1，0]上为减函数

所以对任意的x1，x2∈[-1，1]恒有

又∵

∴

∴

因此结论成立。，

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题型：简答题

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简答题

已知a≠0，函数，g（x）=﹣ax+1，x∈R．

（I）求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若在区间上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，试求正实数a的取值范围。

正确答案

解：（I）由求导得，f'（x）=a2x2﹣2ax．

①当a＞0时，由，解得

所以在上递减．

②当a＜0时，由可得

所以在上递减．

综上：当a＞0时，f（x）单调递减区间为；

当a＜0时，f（x）单调递减区间为

（Ⅱ）设．

对F（x）求导，得F'（x）=a2x2﹣2ax+a=a2x2+a（1﹣2x），

因为，a＞0，

所以F'（x）=a2x2+a（1﹣2x）＞0，

F（x）在区间上为增函数，则．

依题意，只需F（x）max＞0，即，

即a2+6a﹣8＞0，解得或（舍去）．

所以正实数a的取值范围是．

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