热门试卷

解：(Ⅰ)由题意得，f′(x)=3ax2+2x+b，

因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b，

因为函数g(x)是奇函数，

所以g(-x)=-g(x)，

即对任意实数x，有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b]，

从而3a+1=0，b=0，

解得a=，b=0，

因此f(x)的解析表达式为。

(Ⅱ)由(I)知g(x)=x3+2x，

所以g′(x)=-x2+2，

令g′(x)=0，解得，

则当或时，g′(x)＜0，从而g(x)在区间上是减函数；

当时，g′(x)＞0，从而g(x)在区间上是增函数。

由前面讨论知，g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x=1，，2时取得，

而，

因此g(x)在区间[1，2]上的最大值为，最小值为。

解：（1）由f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），代入得，b=0

∴f'（x）=3ax2+c，且f（x）在x=1取得极大值2．

∴

解得a=﹣1，c=3，

∴f（x）=﹣x3+3x

（2）∵g（x）=﹣x2+3+（k+1）lnx，

∴

因为函数定义域为（0，+∞），

所以①当，k=﹣1时，g'（x）=﹣2x＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；

②当k＜﹣1时，k+1＜0，

∵x＞0，

∴．可得函数在（0，+∞）上单调递减；

③k＞﹣1时，k+1＞0，

令g'（x）＞0，得，

∵x＞0，

∴﹣2x2+（k+1）＞0，得，

结合x＞0，得；

令g'（x）＜0，得，

同上得2x2＞（k+1），解得，

∴k＞﹣1时，单调递增区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）

综上，当k≤﹣1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；

当k＞﹣1时，函数的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）

（3）当k=2时，g（x）=﹣x2+3+3lnx，

令h（x）=g（x）﹣（x+m）=﹣x2﹣x+3lnx+3﹣m

，

令h'（x）=0，，得x=1，（舍去）．

由函数y=h（x）定义域为（0，+∞），

则当0＜x＜1时，h'（x）＞0，

当x＞1时h'（x）＜0，

∴当x=1时，函数h（x）取得最大值1﹣m．

由1﹣m＜0得m＞1

故m的取值范围是（1，+∞）．

解：（1）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，则b=d=0，

∴f ′（x）=3ax2+c

则

故f（x）=-x3+x；

（2）∵f ′（x）=-3x2+1=

∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）上是增函数，

在[-，]上是减函数

由f（x）=0解得x=±1，x=0，

如图所示，当-1＜m＜0时，f（x）max=f（-1）=0；

当0≤m＜时，f（x）max=f（m）=-m3+m，

当m≥时，f（x）max=f（）=

故f（x）max=。

（3）g（x）=（-x），令y=2k-x，则x、y∈R+，且2k=x+y≥2，　　

又令t=xy，则0＜t≤k2，　　

故函数F（x）=g（x）·g（2k-x）=（-x）（-y）=+xy-

=+xy-=+t+2，t∈（0，k2] 　

当1-4k2≤0时，F（x）无最小值，不合题意

当1-4k2＞0时，F（x）在（0，]上递减，在[，+∞）上递增，　

且F（k2）=（-k）2，

∴要F（k2）≥（-k）2恒成立，　

必须，　

故实数k的取值范围是（0，]。

解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，

所以f（﹣x）=﹣f（x）．

即﹣2x3+12x+c=﹣2x3+12x﹣c．

解得c=0．

因为f'（x）=6x2﹣12，

所以切线的斜率k=f'（1）=﹣6．

因为f（1）=﹣10，所以切点为（1，﹣10）．

所以切线方程为y+10=﹣6（x﹣1）．

即6x+y+4=0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=6x2﹣12．

所以．

列表如下：

所以函数f（x）的单调增区间是和．

因为f（﹣1）=10，，f（3）=18．

所以f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．