热门试卷

解：（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b

因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b

因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），

即对任意实数x，

有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]

从而3a+1=0，b=0， 解得，

因此f（x）的解析表达式为．

（2）由（1）知， 所以g'（x）=﹣x2+2，

令g'（x）=0 解得

则当时，g'（x）＜0

从而g（x）在区间，上是减函数，

当，

从而g（x）在区间上是增函数，

由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在时取得，

而，

因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为，最小值为．

解：（1）∵f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，

设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．

则点M关于x=1的对称点（2﹣x，g（2﹣x））在函数g（x）的图象上．

∴f（x）=g（2﹣x）=﹣ax+x3．  

（2）f′（x）=﹣a+3x2，又x=1是函数f（x）的一个极值点，

∴f′（1）=0﹣a+3=0，得a=3，

故f（x）=﹣3x+x3．f′（x）=﹣3+3x2=﹣3（x+1）（x﹣1），

当x∈[﹣1，1]，f′（x）≤0， ∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数．  

fmin（x）=f（1）=﹣2，fmax（x）=f（﹣1）=2，

故对任意x1，x2∈（﹣1，1），有|f（x1）﹣f（x2）|＜|2﹣（﹣2）|=4．

（3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=﹣a+3x2＜0在[1，+∞）上恒成立．

即a≥3x2在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在；  

若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立．故a≤3． 

设f（x0）＞x0≥1则f[f（x0）]＞f（x0），

∴x0＞f（x0）矛盾，

若x0＞f（x0）≥1则f（x0）＞f[f（x0）]

∴f（x0）＞x0矛盾！故f（x0）=x0．                               

解：（1）由f（x）是奇函数，可知b=d=0，

所以，　　

可知，

所以，。

（2）即证，

因为，所以x∈[-1，1]时，，从而函数f（x）在[-1，1]上单调递减，

所以，，，

所以，，

从而对任意，有。

解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x）即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c

∴c=0

∵f'（x）=3ax2+b的最小值为﹣12

∴b=﹣12

又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为 

因此，f'（1）=3a+b=﹣6

∴a=2，b=﹣12，c=0．

（Ⅱ）f（x）=2x3﹣12x．

，

列表如下：

所以函数f（x）的单调增区间是和

∵f（﹣1）=10，，f（3）=18

∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．