函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

· 函数奇偶性的性质及其判断

函数奇偶性的性质及其判断
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题型：简答题

简答题

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m，

(Ⅰ)若x2-1比1远离0，求x的取值范围；

(Ⅱ)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab；

(Ⅲ)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)．

正确答案

(Ⅰ)解：由题意得|x2-1|＞1，x2-1＜-1或x2-1＞1，即x2＜0或x2＞2，

∴x的取值范围是(-∞，-)∪(，+∞)。

(Ⅱ)证明：当a、b是不相等的正数时，

，

又，

则，

于是，

∴a3+b3比a2b+ab2远离。

(Ⅲ)解：若|sinx|＞|cosx| ，即sin2x＞cos2x，cos2x＜0，

；

同理，若|cosx|＞|sinx|，则，

于是，函数f(x)的解析式是，

函数f(x)的大致图象如下：

函数f(x)的最小正周期T=2π，函数f(x)是非奇非偶函数；

当x=2kπ或时，函数f(x)取得最大值1；

当x=2kπ+π或时，函数f(x)取得最小值-1；

函数f(x)在区间上单调递增；

在区间

上单调递减。

题型：简答题

简答题

已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的值域

正确答案

解：（1）∵函数是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）

∴ ，

∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0

又函数f（x）的图象经过点（1，3），

∴f（1）=3，∴ ，

∵b=0， ∴a=2

（2）由（1）知

当x＞0时，，

当且仅当，即时取等号

当x＜0时，，∴

当且仅当，即时取等号

综上可知函数f（x）的值域为

题型：填空题

填空题

已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，，且当x∈[-3，-1]时，n≤f（x）≤m恒成立，则n-m的最大值是（）

正确答案

题型：简答题

简答题

已知函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）判断函数的奇偶性,并说明理由.

正确答案

解：（1）由得：，

所以实数的取值范围是

（2）函数为奇函数，

原因如下：

＝

所以恒成立。

题型：简答题

简答题

已知f（x）在（-1，1）上有定义，且满足x，y∈（-1，1）时，有

（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．

（2）数列{an}满足，，xn=f（an），求{xn}的通项公式．

（3）求证：．

正确答案

解：（1）证明：令y=0得：f（x）+f（0）=f（x）

所以f（0）=0令y=﹣x

得：f（x）+f（﹣x）=f（0）=0所以f（﹣x）=﹣f（x）

又f（x）的定义域为（﹣1，1）所以f（x）在（﹣1，1）上为奇函数

（2）解：

∵

=f（an﹣1）+f（an﹣1）=2f（an﹣1）=2xn﹣1

所以{xn}为以2为公比﹣1为首项的等比数列

故

（3）证明：∵=所以：=

所以 …

以上等式相加得：=1+=

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