函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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题型：填空题

填空题

给出下列四个命题：

①若△ABC三边为a，b，c，面积为S，内切圆的半径，则由类比推理知四面体ABCD的内切球半径（其中，V为四面体的体积，为四个面的面积）；

②若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是；

③若偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|有3个根；

④若圆C1：x2+y2+2x=0，圆C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线；

其中，正确命题的序号是（）（把你认为正确命题的序号都填上）。

正确答案

①②④

题型：简答题

简答题

已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的值域

正确答案

解：（1）∵函数是奇函数，则

f（﹣x）=﹣f（x）

∴，

∵a≠0，

∴﹣x+b=﹣x﹣b，

∴b=0

又函数f（x）的图象经过点（1，3），

∴f（1）=3，

∴，

∵b=0，

∴a=2

（2）由（1）知

当x＞0时，，当且仅当，即时取等号

当x＜0时，，

∴当且仅当，即时取等号

综上可知函数f（x）的值域为

题型：简答题

简答题

已知函数，

（Ⅰ）若函数在时取极值，求的单调递减区间.

（Ⅱ）证明：对任意的，都有.

（Ⅲ）若，，，求证：.

正确答案

解：（Ⅰ）

减区间

（Ⅱ），为偶函数

时：若，，

在上单调递增，，即

若，，即当时，

当时，由为偶函数

，即

所以对任意的，都有

（Ⅲ）证明：由得

即

所以

则

又，即

故

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)=x3-ax+b，其中实数a，b是常数．

（1）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A“f(1)≥0”发生的概率；

（2）若f(x)是R上的奇函数，g(a)是f(x)在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时，g(a)的解析式．

正确答案

解：(1)当a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}时，等可能发生的基本事件（a，b）共有9个：，

其中事件A “”，包含6个基本事件：，

故。

(2)是R上的奇函数，得

∴，

①当a≥1时，因为-1≤x≤1，所以，f(x)在区间[-1，1]上单调递减，

从而；

②当a≤-1时，因为-1≤x≤1，所以，f(x)在区间[-1，1]上单调递增，

从而；

综上，知。

题型：简答题

简答题

已知函数（a，b，c为常数，a≠0），

（Ⅰ）若c=0时，数列{an}满足条件：点（n，an）在函数的图象上，求{an}的前n项和

Sn；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a3=7，S4=24，p，q∈N*（p≠q），证明：；

（Ⅲ）若c=1时，f（x）是奇函数，f（1）=1，数列{xn}满足，xn+1= f（xn），求证：

。

正确答案

（Ⅰ）解：依条件有f（x）=ax+b，

因为点在函数f（x）=ax+b的图象上，所以，

因为，

所以{an}是首项是，公差为d=a的等差数列，

所以，

即数列{an}的前n项和。

（Ⅱ）证明：依条件有，即解得，

所以，

因为，

又p≠q，

所以，

即。

（Ⅲ）证明：依条件，

因为f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0，

即，解得b=0，

所以，

又f（1）=1，所以a=2，

故；

因为，

所以（n∈N*），

又，

若矛盾，

所以，

所以

，

因为，

所以，

所以。

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