椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
共1174题

· 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）

椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率、渐近线）
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题型：简答题

简答题

（文）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为3x+4y=0，若双曲线经过点P（-4，-6），求此双曲线的方程．

正确答案

∵渐近线方程为3x+4y=0，

设双曲线方程为9x2-16y2=λ，

将P（-4，-6）的坐标代入方程得

9（-4）2-16（-6）2=λ，

求得λ=-16×27，

所以双曲线方程为9x2-16y2=-16×27．

即-=1．

题型：填空题

填空题

设F1，F2是双曲线-=1的两个焦点，离心率为，P是双曲线上一点，若∠F1PF2=90°，S△F1PF2=1，则双曲线的渐近线方程是______，该双曲线方程为______．

正确答案

不妨设点P在双曲线的右支上，

设双曲线的方程为 -=1，|PF1|=m，|PF2|=n则有

m-n=2a①

∠F1PF2=900由勾股定理得

m2+n2=4c2②

∵S△PF1F2=1

∴mn=1③

∵离心率为2

∴=④

解①②③④a=2，c=

∴b2=c2-a2=1

则双曲线的渐近线方程是 y=±x，该双曲线方程为 -y2=1．

故答案为：y=±x； -y2=1．

题型：简答题

简答题

（理）设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．

（1）求双曲线C的离心率e的值；

（2）若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程．

正确答案

（1）双曲线C的右准线l的方程为：x=，两条渐近线方程为：y=±x．

∴两交点坐标为　P(，)、Q(，-)．

设M为PQ与x轴的交点

∵△PFQ为等边三角形，则有|MF|=|PQ|（如图）．

∴c-=•(+)，即=．

解得　b=a，c=2a．

∴e==2．

（2）由（1）得双曲线C的方程为-=1．直线方程为y=ax+a

把y=ax+a代入得(a2-3)x2+2a2x+6a2=0．

依题意　

∴a2＜6，且a2≠3．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴x1+x2=，x1x2=

∴双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为l====

∵l==12a．

∴144a2=(1+a2)•．

整理得　13a4-77a2+102=0．

∴a2=2或a2=．

∴双曲线C的方程为：-=1或 -=1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1 (a＞0，b＞0)经过点A(，)，其渐近线方程为y=±2x．

（1）求双曲线的方程；

（2）设F1，F2是双曲线的两个焦点，证明：AF1⊥AF2．

正确答案

（1）依题意…（3分）

解得 …（5分）

所以双曲线的方程为x2-=1．…（6分）

（2）由（1）得，F1(-，0)，F2(，0)，

从而以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=5．…（9分）

因为点A(，)的坐标满足方程x2+y2=5，

故点A在以F1F2为直径的圆上，所以AF1⊥AF2．…（12分）

题型：填空题

填空题

与双曲线-=1有共同渐近线，且过A(-3，4)的双曲线方程是______．

正确答案

由题意可设所求的双曲线方程为：-=λ（λ≠0）

双曲线过A(-3，4)，则可得-=λ即λ=-1

∴所求的双曲线的方程为：-=1

故答案为：-=1

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