曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

方程xy2-x2y=-2所表示的曲线的对称性是（　　）

A关于x轴对称

B关于y轴对称

C关于直线y=-x对称

D关于原点对称

正确答案

C

解析

解：将方程中的x换为-x方程变为-xy2-x2y=-2与原方程不同，故不关于y轴对称

将方程中的y换为-y，方程变为xy2+x2y=-2与原方程不同，故不关于x轴对称

将方程中的x换为-y，y换为-x方程变为-yx2+y2x=-2与原方程相同，故曲线关于直线y=-x对称

将方程中的x换为-x，y换为-y方程变为-xy2+x2y=-2与原方程不同，故曲线不关于原点对称

故选C

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题型：填空题

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填空题

我国齐梁时代的数学家祖恒（公元前5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则买家不容异”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于平面的任何平面所截．如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等，设由椭圆x所围成的平面图形绕y轴旋转一周得到的几何体（成为椭球体）体积为V1：由直线y=±2x，x=±1所围成的平面图形（如图阴影部分）绕y轴旋转一周所得到的几何体条件为V2：根据祖恒原理等知识，通过考察V2可得到V1的体积为______．

正确答案

解析

解：由题意，V2=π×1×4-2×=，

根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，

所以V1=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

方程|x|+|y|=1表示的曲线是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：方程|x|+|y|=1 即：x±y=1，或-x±y=1，（-1≤x≤1，且-1≤y≤1 ）

故方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的图形如图所示：曲线围成一个边长为的正方形，

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=（a，b，c为常数），a，b分别是双曲线x2-=1的实半轴长、半焦距，且直线x-cy=2和直线y=x-3垂直．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设k＞1，解关于x的不等式f（x）＜．

正确答案

解：（1）由题意，a=1，b=2，c=-1，

∴f（x）==；

（2）不等式f（x）＜可化为不等式＜

∴＜0，

∴1＜k＜2时，解集为{x|x＜1或k＜x＜2}；

k=2时，解集为{x|x＞1且x≠2}；

k＞2时，解集为{x|x＜1或2＜x＜k}．

解析

解：（1）由题意，a=1，b=2，c=-1，

∴f（x）==；

（2）不等式f（x）＜可化为不等式＜

∴＜0，

∴1＜k＜2时，解集为{x|x＜1或k＜x＜2}；

k=2时，解集为{x|x＞1且x≠2}；

k＞2时，解集为{x|x＜1或2＜x＜k}．

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题型：单选题

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单选题

方程表示的曲线是（　　）

A一个圆

B两个半圆

C两个圆

D半圆

正确答案

A

解析

解：两边平方，可变为（x-1）2+（y-1）2=1，表示的曲线为以（1，1）为圆心，1为半径的圆；

故选A

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题型：单选题

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单选题

若θ是任意实数，则方程x2+4y2cosθ=1所表示的曲线一定不是（　　）

A圆

B双曲线

C直线

D抛物线

正确答案

D

解析

解：抛物线方程中具有x或y的一次项，由于方程x2+4y2cosθ=1没有x或y的一次项，方程不可能是抛物线，

故选D．

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题型：单选题

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单选题

若圆x2+y2=9上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得到的曲线的方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设点（x，y）为所得曲线上任意一点，（x0，y0）为圆x2+y2=9上的点，

因为圆x2+y2=9上的所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，

所以x=x0，y=y0，

又因为x02+y02=9，

所以．

故选C．

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题型：单选题

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单选题

实数x，y满足x2+y2-2x-2y+1=0，则的取值范围为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：令：t═可转化为：tx-y-2t+4=0

则圆心到直线的距离为：d==1

解得t=

由直线与圆有公共点时，的取值范围为

故选A．

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题型：简答题

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简答题

平移坐标轴，把原点移到（-4，3），求曲线方程x2+y2+8x-6y=0在新坐标系下的方程．

正确答案

解：将坐标原点移至O′（-4，3），由坐标平移公式：x=x′+h； y=y′+k．

可得：x=x′-4，y=y′+3．

∴（x′-4）2+（y′+3）2+8（x′-4）-6（y′+3）=0，

∴x′2+y′2=25，即x2+y2=25．

解析

解：将坐标原点移至O′（-4，3），由坐标平移公式：x=x′+h； y=y′+k．

可得：x=x′-4，y=y′+3．

∴（x′-4）2+（y′+3）2+8（x′-4）-6（y′+3）=0，

∴x′2+y′2=25，即x2+y2=25．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•东城区期末）已知曲线Cn的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．

（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线Cn所围成的图形的面积；

（Ⅱ）若Sn（n∈N*）表示曲线Cn所围成的图形的面积，求证：Sn（n∈N*）关于n是递增的；

（Ⅲ）若方程xn+yn=zn（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线Cn（n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．

正确答案

（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，

其图象分别如图：

由图可知，S2=π；

（Ⅱ）证明：要证是关于n递增的，只需证明：．

由于曲线Cn具有对称性，只需证明曲线Cn在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．

现在考虑曲线Cn与Cn+1，

∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，

∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，

在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），

当x0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得，成立，

此时必有y2＞y1．

∵当x0∈（0，1）时，

∴．

两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）

这就得到了y2＞y1，

从而是关于n递增的；

（Ⅲ）证明：由于xn+yn=zn（n＞2，n∈N）可等价转化为，

反证：若曲线上存在一点对应的坐标（x，y），x，y全是有理数，

不妨设，p，q，s，t∈N*，且p，q互质，s，t互质．

则由|x|n+|y|n=1可得，．

即|qs|n+|pt|n=|ps|n．

这时qs，pt，ps就是xn+yn=zn（n＞2，n∈N*）的一组解，

这与方程xn+yn=zn（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，

∴曲线上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．

解析

（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，

其图象分别如图：

由图可知，S2=π；

（Ⅱ）证明：要证是关于n递增的，只需证明：．

由于曲线Cn具有对称性，只需证明曲线Cn在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．

现在考虑曲线Cn与Cn+1，

∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，

∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，

在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），

当x0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得，成立，

此时必有y2＞y1．

∵当x0∈（0，1）时，

∴．

两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）

这就得到了y2＞y1，

从而是关于n递增的；

（Ⅲ）证明：由于xn+yn=zn（n＞2，n∈N）可等价转化为，

反证：若曲线上存在一点对应的坐标（x，y），x，y全是有理数，

不妨设，p，q，s，t∈N*，且p，q互质，s，t互质．

则由|x|n+|y|n=1可得，．

即|qs|n+|pt|n=|ps|n．

这时qs，pt，ps就是xn+yn=zn（n＞2，n∈N*）的一组解，

这与方程xn+yn=zn（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，

∴曲线上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．

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