- 曲线与方程
- 共922题
（2016•黄浦区一模）已知k∈N*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k=______．
正确答案
1
解析
解：曲线x2+y2=k2与曲线xy=k联立，可得x4-k2x2+k2=0
∴△=k4-4k2=0，
∴k=2，
∵k∈N*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，
∴k=1．
故答案为：1．
（2015春•上海校级期末）方程
甲：曲线C为椭圆，则1＜t＜4； 乙：若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜1；
丙：曲线C不可能是圆； 丁：曲线C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜
正确的有（ ）
正确答案
解析
解：方程
若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解得1＜t＜4且t≠
若曲线C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，解得t＜1或t＞4，正确；
当4-t=t-1＞0，即t=
若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜
故选：B．
如图1，正方形ABCD在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A，D在x轴上，点B的坐标为（3，3
（1）求折痕HI所在直线的函数表达式；
（2）若点P在线段HI上，当△PGI为等腰三角形时，请求出点P的坐标，并写出解答过程；
（3）①如图2，在y轴上有一点Q，其坐标为（0，-2k）作直线JQ另有一直线y=
②在①中，在直线y=
正确答案
解：（1）设HI：y=kx+b，
∵直线过H（5，
∵BG=
∴B点到HI的距离=
两边平方得：3k2+3=4k2，即
其中k=-
∴HI：
（2）根据（1）可得，BG：
∴G（
设P（t+2，
当PG=PI时，（t-4）2+3（t-2）2=（t-1）2+3（t-1）2，解得t=2，
当PG=GI时，
当PI=GI时，
∴
（3）①由（1）得：J（2，0），∵Q（0，-2k），直线2y=k（x-1），
∴JQ：y=k（x-2），
与直线2y=k（x-1）联立，即得S（3，k），S在直线AB（x=3）上．
②Q（0，-2k），J（2，0），S（3，k），R（-1，-k），
QS=
解析
解：（1）设HI：y=kx+b，
∵直线过H（5，
∵BG=
∴B点到HI的距离=
两边平方得：3k2+3=4k2，即
其中k=-
∴HI：
（2）根据（1）可得，BG：
∴G（
设P（t+2，
当PG=PI时，（t-4）2+3（t-2）2=（t-1）2+3（t-1）2，解得t=2，
当PG=GI时，
当PI=GI时，
∴
（3）①由（1）得：J（2，0），∵Q（0，-2k），直线2y=k（x-1），
∴JQ：y=k（x-2），
与直线2y=k（x-1）联立，即得S（3，k），S在直线AB（x=3）上．
②Q（0，-2k），J（2，0），S（3，k），R（-1，-k），
QS=
若曲线y=x2-x+2与直线y=x+m有两个交点，则实数m的取值范围是______．
正确答案
m＞1
解析
解：∵曲线y=x2-x+2与直线y=x+m有两个交点，
∴x2-2x+2-m=0有两个根
∴△＞0，即（-2）2-4×（2-m）＞0．
整理得：m-1＞0．
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
已知曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：A选项中，直线的斜率大于0，故系数a，b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对；
B选项中直线的斜率小于0，故系数a，b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对；
C选项中，直线斜率为正，故系数a，b的符号相反，且a正，b负，此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线，图形符合结论，可选；
D选项中不正确，由C选项的判断可知D不正确．
故选：C
已知M（-5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：
①
④
其中为“黄金曲线”的是______．（写出所有“黄金曲线”的序号）
正确答案
②
解析
解：∵点M（-5，0），N（5，0），点P使|PM|-|PN|=6，
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，可得b2=c2-a2=52-32=16，
则双曲线的方程为
对于①，两方程联立，无解．则①错；
对于②，联立y2=4x和
对于③，联立
对于④，联立
对于⑤，联立x2+y2-x-3=0和
解得根大于3，则⑤不成立．
∴为“黄金曲线”的是②．
故答案为：②．
在同一平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2=1经过伸缩变换
（1）求曲线C′的方程；
（2）在曲线C′上求一点P，使点P到直线x+2y-8=0的距离最小，求出最小值并写出此时点P的直角坐标．
正确答案
解：（1）曲线C′的方程为：
（2）因为椭圆C′的参数方程为
所以可设点P的坐标为（3cosϕ，2sinϕ），（6分）
由点到直线的距离公式，得到点P到直线的距离为
=
由三角函数知识知，当θ-ϕ=0时，d取最小值
此时ϕ=θ，
点P的坐标为（
解析
解：（1）曲线C′的方程为：
（2）因为椭圆C′的参数方程为
所以可设点P的坐标为（3cosϕ，2sinϕ），（6分）
由点到直线的距离公式，得到点P到直线的距离为
=
由三角函数知识知，当θ-ϕ=0时，d取最小值
此时ϕ=θ，
点P的坐标为（
关于曲线的对称性的论述正确的是（ ）
正确答案
解析
解：令x=a，y=-b，则a2-ab+b2=0，故点（a，-b）不在曲线C上，即不关于x轴对称；
令x=-a，y=b，则-a3+b3=0，故点（-a，b）不在曲线C上，即不关于y轴对称；
令x=-a，y=-b，则a2-ab+b2=10，故点（-a，-b）在曲线C上，故C正确；
令x=-a，y=-b，则-a3+b3=0，故点（-a，-b）不在曲线C上，故D不正确．
故选：C．
关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y=x对称
③曲线C围成的面积大于π
④曲线C围成的面积小于π
上述命题中，真命题的序号为（ ）
正确答案
解析
解：对于①，将方程中的x换成-x，y换成-y方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①对
对于②，将方程中的x换为y，y换为x方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错
对于③，在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③对，④错．
故选：D．
已知曲线C的方程为：x2+y2-2|x|-2|y|=0，P1、P2是曲线C上的两个点，则|P1P2|的最大值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：利用绝对值的几何意义可知曲线C表示x2+y2-2x-2y=0，x2+y2+2x|-2y=0，x2+y2+2x+2y=0，x2+y2-2x+2y=0，分别在各个象限的部分（包括与坐标轴的交点）
∵P1、P2是曲线C上的两个点，
∴|P1P2|的最大值为一、三（或二、四）象限的圆的圆心距加上2个半径的长
∴|P1P2|的最大值为
故选D．
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