热门试卷

（I）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P(，)．

∴c=1，2a=PF1+PF2=+=2，即a=

∴椭圆的离心率e===…4分

（II）由（I）知，椭圆C的方程为+y2=1，设点Q的坐标为（x，y）

（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，-1）两点，此时点Q的坐标为（0，2-）

（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，

因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则

|AM|2=(1+k2)x1 2，|AN|2=(1+k2)x2 2，又|AQ|2=（1+k2）x2，=+

∴=+，即=+=…①

将y=kx+2代入+y2=1中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②

由△=（8k）2-24（2k2+1）＞0，得k2＞

由②知x1+x2=-，x1x2=，代入①中化简得x2=…③

因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y-2）2-3x2=18

由③及k2＞可知0＜x2＜，即x∈（-，0）∪（0，）

由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以-1≤y≤1，

又由10（y-2）2-3x2=18得（y-2）2∈[，）且-1≤y≤1，则y∈（，2-）

所以，点Q的轨迹方程为10（y-2）2-3x2=18，其中x∈（-，），y∈（，2-）…13分

解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，

则半短轴b=1，

又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为；

（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），

由x=，得x0=2x-1，

由y=，得y0=2y-，

由点P在椭圆上，得，

∴线段PA中点M的轨迹方程是；

（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，

因此△ABC的面积S△ABC=1；

当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入，

解得B（，），C（-，-），

则，

又点A到直线BC的距离d=，

∴△ABC的面积S△ABC=，

于是S△ABC=，

由≥-1，得S△ABC≤，其中，当k=时，等号成立；

∴S△ABC的最大值是。

解：∵c=（0，a），=（1，0），

∴c+λ=（λ，a），i-2λc=（1，-2λa），

因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y-a=-2λax，

消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y-a）=-2a2x2，

整理得，①

因为a＞0，所以得

（Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点；

（Ⅲ）当时，方程①也表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点。

解：（1）连接CP，由知AC⊥BC，

∴

由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2，即|OP|2+|CP|2=9

设点P（x，y），有（x2+y2）+[（x-1）2+y2]=9，

化简，得到x2-x+y2=4。

（2）根据抛物线的定义，到直线x=-1的距离等于

到点C（1，0）的距离的点都在抛物线y2=2px上，

其中，

∴p=2，故抛物线方程为y2=4x

由方程组

得x2+3x-4=0，

解得x1=1，x2=-4

由于x≥0，故取x=1，此时y=±2

故满足条件的点存在，其坐标为（1，-2）和（1，2）。