热门试卷

（1）设圆心P（x，y），∵圆P与直线y=-2相切，∴圆P的半径R=|y+2|．

又∵原P与定圆x2+（y-1）2=1内切，

∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，

∴点P到定直线y=-1与到定点F（0，1）的距离相等，

∴点P的轨迹是抛物线x2=4y．即曲线E的方程为x2=4y．

（2）设斜率为2的直线与曲线E相切于点M（x0，y0）．

由曲线E的方程为x2=4y，∴y′=，∴切线的斜率为，

∴=2，即x0=4，∴y0==8，

∴切点为(4，8)．

∴切线方程为y-8=2(x-4)，化为2x-y-8=0．

∴原点到此切线的距离d==．

（Ⅰ）令f'（x）=（-x3+3x+2）'=-3x2+3=0解得x=1或x=-1

当x＜-1时，f'（x）＜0，

当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，

当x＞1时，f'（x）＜0

所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，

故x1=-1，x2=1，f（-1）=0，f（1）=4

所以，点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）．

（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），•=(-1-m，-n)•(1-m，4-n)=m2-1+n2-4n=4kPQ=-，所以=-，又PQ的中点在y=2（x-4）上，

所以=2(-4)

消去m，n得（x-8）2+（y+2）2=9

（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3），设M（x，y），

∵MN与MC所在直线垂直，∴•=-1，（x≠0且x≠2），

当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，

∴AB中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-4y+3=0，＜x＜．（6分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵S△OAB=S△ONB-S△ONA，且|ON|=1，∴S△OAB=•|ON|•|x2-x1|

将y=kx+1代入方程（x-2）2+（y-3）2=1得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0，

∵x1+x2=，x1•x 2=

∴4S△OAB2=|x2-x1|2=（x1+x2）2-4x1•x2=，

∴f(k)=S2(k)+=，（10分）

∵由f′(k)==0，∴k=±，∵△＞0得＜k＜，

∴k=时，f（k）的最大值为．（14分）

（1）设P（x，y），根据题意，得+3-y=4，化简，得点P的轨迹C的方程y=x2（y≤3）．（4分）

（2）设过Q的直线方程为y=kx-1，代入抛物线方程，整理得x2-4kx+4=0．

由△=16k2-16=0．解得k=±1．

于是所求切线方程为y=±x-1．

切点的坐标为（2，1），（-2，1）．

由对称性知所求的区域的面积为S=2[x2-(x-1)]dx=．（10分）

（1）1°当直线l斜率不存在时，容易知x=0符合题意；…2

2°当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+5，交圆于AB两点，取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB，

∵|AB|=4，r=4，

∴|CM|=2，…4 

则由|CM|==2得：k=，故直线l的方程为3x-4y+5=0，…6

∴直线l的方程为：x=0或3x-4y+5=0；…7

（2）设弦中点P（x，y），由题意得：CP⊥QP，…8

∴•=0，而=（x+2，y-6），=（x，y-5）…10

∴•=x（x+2）+（y-6）（y-5）=0，化简整理得：x2+y2+2x-11y+30=0，…11

∴点P的轨迹方程为：：x2+y2+2x-11y+30=0，（（x+2）2+（y-6）2＜16）…13

∴点P的轨迹是以为（-1，）为圆心，为半径的圆，在圆（x+2）2+（y-6）2=16的内部的一段弧…14

（1）设点P（x，y），

依题意，有=．

整理，得+=1．

所以动点P的轨迹C的方程为+=1．

（2）∵点E与点F关于原点O对称，

∴点E的坐标为(-，0)．

∵M、N是直线l上的两个点，

∴可设M(2，y1)，N(2，y2)（不妨设y1＞y2）．

∵•=0，

∴(3，y1)•(，y2)=0．

即6+y1y2=0．即y2=-．

由于y1＞y2，则y1＞0，y2＜0．

∴|MN|=y1-y2=y1+≥2=2．

当且仅当y1=，y2=-时，等号成立．

故|MN|的最小值为2．

（1）曲线C为椭圆+=1．设A（x1，y1）、B（x2，y2）是直线与椭圆的交点，

将y=x-1代入+=1，消去y，得3x2-2x-3=0．

则x1+x2= ， x1x2=-1，y1y2=（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1，∴• =x1x2+y1y2=-．

（2）设Q（x，y），则P（2x-2，2y），得+=1，则2（x-1）2+y2=1即为所求．

（1）f[f （x）]=f （x）-2[f （x）•]•（为向量）

=x-2（x•）•-2{[x-2（x•）•]•}•

=x-2（x•）•-2[x•-2（x•）

a

2]•=x-2（x•）•

∴[x•-2（x•）•

a

2]•=0，∵≠．

∴x•-2（x•）•

a

2=0，∴x•（1-2

a

2）=0恒成立

∴1-2

a

2=0，∴

a

2=，∴||=．

（2）设B（x′，y′），∴=（x′-1，y′+2），

∴（x′-1）2+（y′+2）2=，

设P（x，y） 由=-，∴（x-1，y+2）=-（x′-x，y′-y）

∴，解得，

∴（-2x+3-1）2+（-2y-6+2）2=

∴（x-1）2+（y+2）2=，即为P点所在曲线的方程．

（1）设C（x，y），

∵+=2，

由①知=2，

∴G为△ABC的重心，

∴G（，）

由②知M是△ABC的外心，

∴M在x轴上．

由③知M（，0），

由||=||得

=

化简整理得：+y2=1（x≠0）

（2）F（，0）恰为+y2=1的右焦点

设PQ的斜率为k≠0且k≠±，

则直线PQ的方程为y=k（x-）

由⇒(3k2+1)x2-6k2x+6k2-3=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

则x1+x2=，x1•x2=；

则|PQ|=•

=•

=

∵RN⊥PQ，把k换成-

得|RN|=

∴S=|PQ|•|RN|

==2-）

∴3(k2+)+10=∵k2+≥2，

∴≥16，

∴≤S＜2，（当k=±1时取等号）

又当k不存在或k=0时S=2

综上可得≤S≤2，

∴Smax=2，Smin=