热门试卷

（Ⅰ）由题意知，动点P到定点C(，  0)的距离等于到定直线x=-的距离，

所以动点P的轨迹为抛物线，

且=，

P=1．

所以点P的轨迹方程为y2=2x．…（6分）

（Ⅱ）设过点A的直线方程为y=k（x+4）（k≠0）．

联立方程组，

消去x，得y2-y+4k=0．…（8分）

设E（x1，y1）、F（x2，y2），

则y1•y2=8，且y12=2x1，y22=2x2．

∵kA′E=，kA′F=，

∴kA′E+kA′F=+=

=

=．

由y1•y2=8，得kA'E+kA'F=0．…（14分）

（1）过点C作直线x=-的垂线，垂足为N，

由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线x=-的距离相等，

由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，

其中F(，0)为焦点，x=-为准线，

所以轨迹方程为y2=2px（p＞0）；       

（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2）

不过点P的直线l方程为y=-x+b，

由得y2+2y0y-2y0b=0，

则y1+y2=-2y0，

kAP+kBP=+

=+

=+

==0．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则kMN===（***）                    

设MP0的直线方程为为y-y0=k（x-x0）与曲线y2=2px的交点P0（x0，y0），M（x1，y1）．

由，y2-y+-2px0=0的两根为y0，y1

则y0+y1=，∴y1=-y0

同理y0′+y2=，得y2=--y0′

∴y1+y2=-(y0+y0′)，

代入（***）计算得kMN=-．是定值，命题得证

设P（x，y），因为A（-2，0），B（2，0）

所以kAP=（x≠-2），kBP=（x≠2）

由已知，•=-（x≠±2）

化简，得+y2=1（x≠±2）

点P的轨迹方程：+y2=1（x≠±2）．

（I）设C（x，y）（xy≠0），∵MG∥AB，可设G（a，b），则M（0，b）．

∴a=，b=，即  x=3a，y=3b   （1）．  

∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即 =  （2）．

由（1）（2）得  x2+= 1．所以，三角形顶点C的轨迹方程为  x2+= 1，（xy≠0）．

（II）设直线l的方程为 y=kx+1，P（ x1，y1），N （x2，y2），

由   消y得 （3+k2）x2+2kx-2=0．∵直线l与曲线D交于P、N两点，

∴△=b2-4ac=4k2+8（3+k2）＞0，x1+x2=-，x1•x2=-．

∵OP⊥ON，∴x1•x2+y1y2=0，∴x1•x2+（kx1+1）（kx2+1）=0．

∴1+k2（-）+k （-）+1=0，∴k=±，

∴直线l的方程为 y=± x+1．

（Ⅰ）设动圆圆心P（x，y），

根据题意：点P（x，y）到点F（0，1）距离等于点P到定直线y=-1的距离，

即=|y+1|，（3分）

 故：动圆圆心P的轨迹W的方程为x2=4y．（5分）

（Ⅱ）显然，直线的斜率k存在，

设过点F的直线l的方程为y-1=kx，即y=kx+1，（6分）

A（x1，y1），B（x2，y2）．

①如果k=0，，得A（-2，1），B（2，1），

故有|AB|+4，而|AC|==2，不符题意，所以k≠0．（7分）

②如果k≠0，弦AB中点M（x0，y0）．则，得：x2-4kx-4=0，

所以有：x1+x2=4k，x1x2=-4，（9分）

y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2，

x0==2k，y0==2k2+1，（11分），

即M（2k，2k2+1），

若在直线y=-1上存在点C，使△ABC为正三角形，

则设直线MC：y-（2k2+1）=-（x-2k）与y=-1联立，

解得x=4k+2k3，也就是C（4k+2k3，-1），

由=，得=，（14分）

即k=±，所以，直线l的方程为y=±x+1．（15分）

（1）点M到点F的距离是|MF|=，点M到直线y+1=0的距离是d=|y+1|

根据题意，得x2+（y-1）2=（y+1）2

x2+y2-2y+1=y2+2y+1

即y=

∴点M的轨迹方程是y=；

（2）∵倾斜角为30°，∴直线m的斜率为

∵F（0，1），∴直线m的方程为：y=x+1

与抛物线方程联立

消去y可得， -x-1=0

∴x1=2或x2=-

∴y1=3或y2=

∴A(2，3)，B(-，)

∴|AB|==

（3）证明：过G（0，4）的直线为 y=kx+4

代入抛物线方程，得=kx+4

即x2-4kx-16=0

∵过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x1，y1），D（x2，y2），

∴x1+x2=4k，x1x2=-16

∵OC 的斜率是，OD的斜率是

∴×== =-1

∴OC⊥OD

（1）设AB所在直线的方程为y=x+m

由得4x2+6mx+3m2-4=0．（2分）

因为A、B在椭圆上，所以△=-12m2+64＞0.-＜m＜

设A、B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），中点为P（x0，y0）

则x1+x2=-，m=-x0，y0=x0-x0=-x0

所以中点轨迹方程为y=-x(-＜x＜，且x≠-)（4分）

（2）∵AB∥l，且AB边通过点（0，0），故AB所在直线的方程为y=x．

此时m=0，由（1）可得x=±1，所以|AB|=|x1-x2|=2（6分）

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h=（8分）

S△ABC=|AB|•h=2．（10分）

（3）由（1）得x1+x2=-，x1x2=，

所以|AB|=|x1-x2|=．（12分）

又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=．（14分）

所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11．

所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）

此时AB所在直线的方程为y=x-1．（16分）

（Ⅰ）设点P（x，y），则根据题意，有

•=-，整理得+y2=1．由于x≠±，

所以求得的曲线C的方程为+y2=1(x≠±)．

（Ⅱ）设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

由消去y得：(1+2k2)x2+4kx=0．

①解得x1=0，x2=．

由|MN|=|x1-x2|=||=，解得：k=±1．

∴直线l的方程x-y+1=0或x+y-1=0；

②设点Q的坐标为（x，y），

∵=，

∴点Q为线段MN的中点，可得x==，

∴y=kx+1=k•+1=，

消去k，得方程：x2+2y2-2y=0．

因曲线C的方程为+y2=1(x≠±)，故直线不过点(±，0)，即k≠±

又∵直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，

∴△=（-4k）2＞0，即k≠0，

因此，x≠0，且x≠±，

综上，所求点Q的轨迹方程为x2+2y2-2y=0(x≠0，且x≠±)．

（1）当λ≠0且λ≠-1时，直线l1：y=(x+2)，直线l2：y=(x-2)

消参可得+=1①

当λ=0时，直线l1：x=-2，直线l2：y=0，其交点为（-2，0），适合①；

当λ=-1时，直线l1：y=0，直线l2：x=2，其交点为（2，0），适合①；

∴点P的轨迹C的方程为+=1；

（2）假设存在直线l：y=kx+m（m≠0）与轨迹C相交于不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2），且满足|BM|=|BN|．

令线段MN的中点M0（x0，y0），则BM0垂直平分MN

∵+=1，+=1，

∴两式相减可得，kMN=-=k②

∵BM0⊥MN，∴kBM0==-③

由②③可得x0=-1，y0=

∴M0（-1，）

∵M0在椭圆C的内部，故+＜1

∴|k|＞1

∵M0（-1，）在直线l上，

∴=-k+m，

∴|m|=|k+|≥2，当且仅当|k|=时取等号

∴存在直线l满足条件，此时m的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．