热门试卷

证明：∵CD垂直平分AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=DB．

在Rt△ADC中，∵DF⊥AC，∴AD2=AF•AC．

同理BD2=BG•BE．

∴AF•AC=BG•BE．

解：方法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA1=4，

则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），

B1（4，0，4），D（2，0，2），（2分）

（I）=（-2，4，0），面ABC的法向量为=（0，0，4），

∵，DE⊄平面ABC，

∴DE∥平面ABC．（4分）

（II），

=0

=0（6分）

∴，∴B1F⊥AF

∵AF∩FE=F，∴B1F⊥平面AEF（8分）

（III）平面AEF的法向量为，设平面B1AE的法向量为，

∴，即（10分）

令x=2，则Z=-2，y=1，∴

∴=

∴二面角B1-AE-F的余弦值为（12分）

方法2：（I）方法i：设G是AB的中点，连接DG，

则DG平行且等于EC，（2分）

所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，

从而DE∥平面ABC．（4分）

方法ii：连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线

于点P，连接BP．由E为C1C的中点，A1C1∥CP，

可证A1E=EP，（2分）

∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP，

又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）

（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，

∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC，可证B1F⊥AF，（6分）

设AB=AA1=2，则

∴B1F⊥EF，∴B1F⊥平面AEF；（8分）

（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，

∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE，

∴∠B1MF为二面角B1-AE-F的平面角，

C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，

在Rt△AEF中，可求，（10分）

在Rt△B1FM中，∠B1FM=90°，∴

∴二面角B1-AE-F的余弦值为（12分）