热门试卷

证明：∵BE是∠ABC的平分线，

∴=，①

=，②

在Rt△ABC中，由射影定理知，

AB2=BD•BC，即=③

由①③得：=，④

由②④得：=．

解：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∴C1B在平面ABC上的射影为CB．

∴∠C1BC为直线C1B与底面ABC所成角．

∵CC1=BB1=2，BC=1，∴tan∠C1BC=2．

即直线C1B与底面ABC所成角正切值为2．

（2）当E为中点时，EA⊥EB1．

∵CE=EC1=1，BC=B1C1=1，∴∠BEC=∠B1EC1=450，∴∠BEB1=90°，

即B1E⊥BE

又∵AB⊥平面BB1CC1，EB1⊂平面BB1C1C∴AB⊥EB1，

∵BE∩AB=B，∴EB1⊥平面ABE，

EA⊂平面ABE，EA⊥EB1．

（3）取EB1的中点G，A1E的中点F，

则FG∥A1B1，且FG=A1B1，

∵A1B1⊥EB1，∴FG⊥EB1，

连接A1B，AB1，设A1B∩AB1=O，

连接OF，OG，FG，

则OG∥AE，且OG=AE，∵AE⊥EB1，∴OG⊥EB1．

∴∠OGF为二面角A-EB1-A1的平面角．

∵OG=AE=1，且FG=A1B1=，OF=BE=，∠OGF=45°

∴二面角A-EB1-A1的大小为45°，

另解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）．

（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，

平面ABC的法向量=（0，2，0）．，

又=（1，2，0）

设C1B与平面ABC所成的角为θ，

则sinθ=|cos|=

∴tanθ=2

即直线C1B与底面ABC所成角正切值为2．

（2）设E（1，y，0），则=（-1，2-y，0），=（-1，y，z）

∵AE⊥EB1，∴•=1-y（2-y）=0

∴y=1，即E（1，1，0），∴E为CC1的中点．

（3）∵A（0，0，），则=（1，1，-），=（1，-1，0），

设平面AEB1的法向量=（x1，y1，z1），

则∴，取=（1，1，）

∵=（1，-1，0），

，=1-1=0∴BE⊥B1E，

又BE⊥A1B1，∴BE⊥平面A1B1E，∴平面A1B1E的法向量=（1，1，0），∴cos＜，＞=

∴二面角A-EB1-A1的大小为45°．