函数y=Asin(ωX+φ)的图像
共3529题

函数y=Asin(ωX+φ)的图像
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题型：简答题

简答题

函数f（x）=sin（x-）-2cos2x+1．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的对称轴方程及单调增区间；

（3）求f（x）在[0，]上的值域．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=sin（x-）-2cos2x+1=sinxcos-cosxsin-cosx

=sinx-cosx=sin（x-），

故函数的最小正周期为=8．

（2）令x-=kπ+，k∈Z，求得x=4k+，可得f（x）的对称轴方程为 x=4k+，k∈Z．

令2kπ-≤x-≤2kπ+，求得 8k-≤x≤8kπ+，

可得函数的增区间为[8k-，8kπ+]，k∈Z．

（3）在[0，]上，x-∈[-，]，可得sin（x-）∈[-，1]，故f（x）∈[-，]．

解析

解：（1）∵函数f（x）=sin（x-）-2cos2x+1=sinxcos-cosxsin-cosx

=sinx-cosx=sin（x-），

故函数的最小正周期为=8．

（2）令x-=kπ+，k∈Z，求得x=4k+，可得f（x）的对称轴方程为 x=4k+，k∈Z．

令2kπ-≤x-≤2kπ+，求得 8k-≤x≤8kπ+，

可得函数的增区间为[8k-，8kπ+]，k∈Z．

（3）在[0，]上，x-∈[-，]，可得sin（x-）∈[-，1]，故f（x）∈[-，]．

题型：单选题

单选题

函数的周期为（　　）

C2π

Dπ

正确答案

解析

解：

=（2cos2x-1）

=cos2x，

∴周期为T==π

故选：D

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin2x-cos2x的图象过点（，0）．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知函数f（x）=sin2x-cos2x的图象过点（，0），

∴sin-cos=0，解得a=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数函数f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-），

∴最小正周期T==π，最大值为．

解析

解：（Ⅰ）由已知函数f（x）=sin2x-cos2x的图象过点（，0），

∴sin-cos=0，解得a=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数函数f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-），

∴最小正周期T==π，最大值为．

题型：单选题

单选题

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：

①若f（x1）=-f（x2），则x1=-x2 ②f（x）的最小正周期是2π；

③f（x）在区间[-]上是增函数； ④f（x）的图象关于直线x=对称；

⑤当x∈[-时，f（x）的值域为[-]．

其中正确的命题为（　　）

A①②④

B③④⑤

C②③

D③④

正确答案

解析

解：由题意可得：f（x）=cosxsinx=sin2x，

①f（）=-f（），但是不满足x1=-x2，所以①错误．

②根据周期公式可得：f（x）=sin2x的周期为π．所以②错误．

③f（x）=sin2x的单调增区间为[kπ-，kπ+]，（k∈Z），显然③正确．

④f（x）=sin2x的所有对称轴为x=，显然④正确．

⑤f（x）=sin2x，因为x∈∈[-]时，所以2x∈[]，所以sin2x∈[]，所以f（x）的值域为[]．所以⑤错误．

故选D．

题型：单选题

单选题

函数y=sin22x是（　　）

A周期为π的奇函数

B周期为π的偶函数

C周期为的奇函数

D周期为的偶函数

正确答案

解析

解：∵f（x）=sin22x=-cos4x∴f（-x）=-cos（-4x ）=-cos4x=f（x）为偶函数

故选D．

题型：简答题

简答题

已知f（x）=3sin（2x+）．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的单调递增区间．

正确答案

解：（1）由f（x）=3sin（2x+），可得函数的周期为T==π．

（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

解析

解：（1）由f（x）=3sin（2x+），可得函数的周期为T==π．

（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

题型：单选题

单选题

是（　　）

A周期为4π的奇函数

B周期为的奇函数

C周期为π的偶函数

D周期为2π的偶函数

正确答案

解析

解：根据函数=cos（-）=sin，可得它的周期为T==4π，

故选：A．

题型：简答题

简答题

已知．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；

（Ⅱ）求函数f（x）的最值；

（Ⅲ）当时，求f（x）的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由1-tanx≠0得．又

∴函数的定义域为．

∵，

∴f（x）的最小正周期为π

（Ⅱ）∵函数的定义域为

∴，

∴函数f（x）无最大值．

∴当时，函数f（x）最小值为-1

（Ⅲ）∵

∴=．

解析

解：（Ⅰ）由1-tanx≠0得．又

∴函数的定义域为．

∵，

∴f（x）的最小正周期为π

（Ⅱ）∵函数的定义域为

∴，

∴函数f（x）无最大值．

∴当时，函数f（x）最小值为-1

（Ⅲ）∵

∴=．

题型：简答题

简答题

求下列函数的周期和最大值、最小值：

（1）y=1+sin2x；

（2）y=2sinx-3cosx；

（3）y=cos2x-cos4x；

（4）y=cos4x-sin4x．

正确答案

解：（1）∵y=1+sin2x=1+=-cos2x，

∴它的周期为=π，最大值为+=2，最小值为-=1．

（2）∵y=2sinx-3cosx=sin（x+α），其中cosα=，sinα=，

∴它的周期为2π，最大值为，最小值为-．

（3）y=cos2x-cos4x=cos2x（1-cos2x）=cos2x•sin2x=sin22x=，

故它的周期为=，最大值为=，最小值为0．

（4）y=cos4x-sin4x=cos2x-sin2x=cos2x，

故它的周期为=π，最大值为1，最小值为-1．

解析

解：（1）∵y=1+sin2x=1+=-cos2x，

∴它的周期为=π，最大值为+=2，最小值为-=1．

（2）∵y=2sinx-3cosx=sin（x+α），其中cosα=，sinα=，

∴它的周期为2π，最大值为，最小值为-．

（3）y=cos2x-cos4x=cos2x（1-cos2x）=cos2x•sin2x=sin22x=，

故它的周期为=，最大值为=，最小值为0．

（4）y=cos4x-sin4x=cos2x-sin2x=cos2x，

故它的周期为=π，最大值为1，最小值为-1．

题型：单选题

单选题

设函数f（x）=sin（ωx+φ）+sin（ωx-φ）（ω＞0，＜φ＜π）的最小正周期为π，则（　　）

Af（x）在（0，）单调递减

Bf（x）在（0，）单调递增

Cf（x）在（0，）单调递增

Df（x）在（0，）单调递减

正确答案

解析

解：函数f（x）=sin（ωx+φ）+sin（ωx-φ）=2sinωxcosφ，由于最小正周期为π=，ω=2．

故函数f（x）=2sin2xcosφ．

再由＜φ＜π，可得 cosφ＜0．

令 2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的减区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

同理．令2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈z，求得增区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

故选D．

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