函数y=Asin(ωX+φ)的图像
共3529题

函数y=Asin(ωX+φ)的图像
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题型：简答题

简答题

已知函数，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）设α＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，求α的最小值．

正确答案

（Ⅰ）解：===，

所以函数f（x）的最小正周期．

由，k∈Z，

得，

所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．

（Ⅱ）解：由题意，得，

因为函数g（x）为奇函数，且x∈R，所以g（0）=0，即，

所以，k∈Z，解得，k∈Z，验证知其符合题意．

又因为α＞0，所以α的最小值为．

解析

（Ⅰ）解：===，

所以函数f（x）的最小正周期．

由，k∈Z，

得，

所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．

（Ⅱ）解：由题意，得，

因为函数g（x）为奇函数，且x∈R，所以g（0）=0，即，

所以，k∈Z，解得，k∈Z，验证知其符合题意．

又因为α＞0，所以α的最小值为．

题型：填空题

填空题

函数y=的最小正周期是______．

正确答案

解析

解：函数y==tan（-2x），故函数的最小正周期为=，

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x-2．

（I）求函数f（x）的最小正周期；

（II）当时，求函数f（x）的最大值，最小值．

正确答案

解：（I）．（3分）

∴f（x）的最小正周期为π；（5分）

（II）．∵，∴，（7分）

∴（10分）

∴．（12分）

∴当时，函数f（x）的最大值为1，最小值．

解析

解：（I）．（3分）

∴f（x）的最小正周期为π；（5分）

（II）．∵，∴，（7分）

∴（10分）

∴．（12分）

∴当时，函数f（x）的最大值为1，最小值．

题型：单选题

单选题

函数y=sin4x的周期是（　　）

Aπ/2

B2π

Cπ/4

D4π

正确答案

解析

解：由于函数y=Asin（ωx+∅）的周期是 T=，故函数y=sin4x的周期是 =，

故选A．

题型：简答题

简答题

已知f（x）=sin2wx+sin2wx-（x∈R，w＞0），若f（x）的最小正周期为2π．

（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；

（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）由已知f（x）=sin2wx+sin2wx-

=（1-cos2wx）+sin2wx-

=sin2wx-cos2wx

=sin（2wx-）．

又由f（x）的周期为2π，则2π=⇒2w=1⇒w=，

⇒f（x）=sin（x-），

2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）⇒2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），

即f（x）的单调递增区间为

[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）．

（2）由x∈[-，]⇒-≤x≤

⇒--≤x-≤-⇒-≤x-≤

⇒sin（-）≤sin（x-）≤sin．∴-≤sin（x-）≤1．

故f（x）在区间[-，]的最大值和最小值分别为1和-．

解析

解：（1）由已知f（x）=sin2wx+sin2wx-

=（1-cos2wx）+sin2wx-

=sin2wx-cos2wx

=sin（2wx-）．

又由f（x）的周期为2π，则2π=⇒2w=1⇒w=，

⇒f（x）=sin（x-），

2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）⇒2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），

即f（x）的单调递增区间为

[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）．

（2）由x∈[-，]⇒-≤x≤

⇒--≤x-≤-⇒-≤x-≤

⇒sin（-）≤sin（x-）≤sin．∴-≤sin（x-）≤1．

故f（x）在区间[-，]的最大值和最小值分别为1和-．

题型：单选题

单选题

设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a、b、α、β均为非零实数，若f（1988）=3，则f（2013）的值为（　　）

D不确定

正确答案

解析

解：∵f（1988）=3，∴asin（1988π+α）+bcos（1988π+β）+4=3，得asinα+bcosβ=-1．

∴f（2013）=asin（2013π+α）+bcos（2013π+β）+4=-（asinα+bcosβ）+4=-（-1）+4=5．

故选B．

题型：单选题

单选题

函数y=2sin（πx+）的最小正周期为（　　）

Aπ

C2π

正确答案

解析

解：函数y=2sin（πx+）的最小正周期为=2，

故选：B．

题型：单选题

单选题

下列函数中，最小正周期为π的是（　　）

Ay=sinx

Dy=cos4x

正确答案

解析

解：y=sinx的最小正周期为2π，不满足题意；的最小正周期是π，满足题意；

的最小正周期是2π，不满足题意；y=cos4x的最小正周期是不满足题意；

故选：B．

题型：填空题

填空题

已知函数（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象的对称中心坐标是______．

正确答案

解析

解：∵函数的最小正周期为π，

∴=π，又ω＞0，

∴ω=2，

∴f（x）=sin（2x+），

令2x+=kπ，解得x=-+，k∈Z，

则该函数图象的对称中心坐标是（-+，0），k∈Z．

故答案为：（-+，0），k∈Z

题型：单选题

单选题

（2015秋•宣城月考）函数y=cos（x+）的周期不大于2，则正整数k的最小值为（　　）

A10

B11

C12

D13

正确答案

解析

解：函数y=cos（x+）的周期T=，

由，解得：|k|≥4π，

∴k≤-4π或k≥4π．

则正整数k的最小值为13．

故选：D．

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