函数y=Asin(ωX+φ)的图像_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：

①函数为R上的1高调函数；

②函数f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数；

③函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；

④若函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．

其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）．

正确答案

①②③④

解析

解：函数f（x+l）=，，

要使f（x+l）≥f（x），需要≥恒成立，只需l≤0；

即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，

∴函数是R上的1（l≤0）高调函数，故①正确；

∵f（x）=lgx为增函数，∴当m＞0时，lg（x+m）≥lgx，

∴函数f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数，故②正确；

∵sin2（x+π）≥sin2x，

∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故③正确；

∵如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上m高调函数，

只有[-1，1]上至少需要加2，

那么实数m的取值范围是[2，+∞），故④正确，

综上，正确的命题序号是①②③④．

故答案为：①②③④

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题型：简答题

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简答题

已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．

正确答案

解：（1）∵

=sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）

==

=

∴周期T=

由

∴函数图象的对称轴方程为

（2）∵，∴，

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，f（x）取最大值1，

又∵，当时，f（x）取最小值，

所以函数f（x）在区间上的值域为．

解析

解：（1）∵

=sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）

==

=

∴周期T=

由

∴函数图象的对称轴方程为

（2）∵，∴，

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，f（x）取最大值1，

又∵，当时，f（x）取最小值，

所以函数f（x）在区间上的值域为．

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题型：单选题

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单选题

函数的最小正周期是（　　）

A2π

Bπ

C

D

正确答案

C

解析

解：∵函数==

又∵函数f（x）=的周期为π

∴函数f（x）=||的周期为

故选C

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题型：简答题

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简答题

求下列函数的周期：

（1）

（2）y=cos4x，x∈R

（3）

（4）．

正确答案

解：（1）的周期为 =，

（2）y=cos4x，x∈R的周期为=，

（3）的周期为 =2π，

（4）的周期为=6π．

解析

解：（1）的周期为 =，

（2）y=cos4x，x∈R的周期为=，

（3）的周期为 =2π，

（4）的周期为=6π．

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题型：单选题

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单选题

下列函数为周期函数的是（　　）

Af（x）=sinx，x∈[0，2π]

Bf（x）=

Cf（x）=sin|x|

Df（x）=2014（x∈Z）

正确答案

D

解析

解：根据函数y=sinxx∈[0，2π]的图象，可得此函数没有周期性．

由于f（x）=sin2x= （x≠0），可得f（0）不存在，而f（2π）=f（-2π）=1=f（4π）=f（-4π）≠f（0），故函数没有周期性．

根据函数f（x）=|x|的图象，可得函数没有周期性．

由于常数函数一定是周期函数，且没有最小正周期，故D满足条件，

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

函数y=sin3x的最小正周期是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：函数y=sin3x的最小正周期是：T=．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=-Mf（x）成立．

（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；

（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．

正确答案

解：（1）取 M=1 对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=-sinπx=-g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P

（2）M=1时，f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；

（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=-Mh（x）成立．既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx

若|M|＞1，取sinωx=1，则 sin（ωx+ωM）=-M对x∈R恒成立时不可能的．

若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则对x∈R也不成立．∴M=±1

当 M=1时 sin（ωx+ω）=-sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；

当M=-1时 sin（ωx-ω）=sinωx，sin（ωx-ω）-sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπk∈Z

综上可得ω=kπ（k∈Z）

解析

解：（1）取 M=1 对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=-sinπx=-g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P

（2）M=1时，f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；

（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=-Mh（x）成立．既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx

若|M|＞1，取sinωx=1，则 sin（ωx+ωM）=-M对x∈R恒成立时不可能的．

若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则对x∈R也不成立．∴M=±1

当 M=1时 sin（ωx+ω）=-sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；

当M=-1时 sin（ωx-ω）=sinωx，sin（ωx-ω）-sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπk∈Z

综上可得ω=kπ（k∈Z）

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题型：填空题

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填空题

定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为______．

正确答案

解析

解：定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，

所以f（）=f（-）=f（）=sin=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若是函数f（x）=sin2x+acos2x（a∈R，为常数）的零点，则f（x）的最小正周期是______．

正确答案

π

解析

解：∵是函数f（x）=sin2x+acos2x（a∈R，为常数）的零点，

∴f（）=sin+acos2=0，

∴1+a=0，

∴a=-2．

∴f（x）=sin2x-2cos2x

=sin2x-cos2x-1

=sin（2x-）-1，

∴f（x）的最小正周期为π．

故答案为：π

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sinx-2sin2

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．

正确答案

解：（1）∵f（x）=sinx-2sin2

=sinx-2×

=sinx+cosx-

=2sin（x+）-

∴f（x）的最小正周期T==2π；

（2）∵x∈[0，]，

∴x+∈[，π]，

∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）-∈[-，2-]，

∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：-．

解析

解：（1）∵f（x）=sinx-2sin2

=sinx-2×

=sinx+cosx-

=2sin（x+）-

∴f（x）的最小正周期T==2π；

（2）∵x∈[0，]，

∴x+∈[，π]，

∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）-∈[-，2-]，

∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：-．

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