- 圆锥曲线中的范围、最值问题
- 共37题
已知A是椭圆E:的左顶点,斜率为的直线交E与A,M两点,点N在E上,.
(I)当时,求的面积
(II) 当2时,证明:.
正确答案
(Ⅰ)设,则由题意知.
由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为,
又,因此直线的方程为.
将代入得,
解得或,所以.
因此的面积.
(2)将直线的方程代入得
.
由得,故.
由题设,直线的方程为,故同理可得.
由得,即.
设,则是的零点,,
所以在单调递增,又,
因此在有唯一的零点,且零点在内,所以.
知识点
18.如图,在平面直角坐标系中,设点是椭圆上一点,从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点,直线的斜率分别记为.
(1)若圆与轴相切于椭圆的右焦点,求圆的方程;
(2)若.
①求证:;
②求的最大值.
正确答案
(1)圆的方程为.(2)详见解析
解析
试题分析:本题属于直线与圆锥曲线的综合问题,题目的难度较大,(1)直接求圆心和半径(2)证明定值问题时,要先表示出来,再通过计算化简得到(3)的最大值涉及到基本不等式,要能正确地使用基本不等式。
(1)因为椭圆右焦点的坐标为,所以圆心的坐标为,
从而圆的方程为.
(2)①因为圆与直线相切,所以,
即,
同理,有,
所以是方程的两根,
从而.
②设点,联立,
解得,
同理,,
所以
, 当且仅当时取等号. 所以的最大值为.
考查方向
解题思路
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,解决直线与椭圆的位置关系的相关问题时,常规思路是先把直线与椭圆联立方程组,消元、化简,然后应用根与系数的关系代入化简,从而解决相关问题。
易错点
1、第二问中证明,计算不出来常数。
2、第三问中求时,计算错误,同时使用基本不等式时有一定的难度。
知识点
21. 平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且垂直于长轴的弦长为.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)设点A,B分别是椭圆的左、右顶点,若过点的直线与椭圆相交于不同两点M,N.
(i)求证:;
(ii)求面积的最大值.
正确答案
(1);
(2)
解析
试题分析:本题属于三角函数中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,直接按照步骤来求
(1), 又,
所以.
所以椭圆的标准方程为
(II)(i)当AB的斜率为0时,显然,满足题意
当AB的斜率不为0时,设,AB方程为代入椭圆方程
整理得,则,所以
,
[
,即
(ii)
当且仅当,即.(此时适合△>0的条件)取得等号.
三角形面积的最大值是
方法二(i)由题知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为:,
设,联立,整理得,
则,所以
,
,即
(ii)
点到直线的距离为,
=
.
令,则,
当且仅当,即(此时适合△>0的条件)时,,即
三角形面积的最大值是
考查方向
解题思路
本题考查平面几何,解题步骤如下:1、利用椭圆的几何性质,结合离心率及隐含条件a2=b2+c2联立方程组求解a2,b2的值,则椭圆方程可求;2、利用证明;3、把转化利用基本不等式求最值
易错点
1、计算的准确性2利用基本不等式求出最值
知识点
11. 双曲线的左,右焦点分别为,记,以坐标原点为圆心,为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为,若,则点的横坐标为( )
正确答案
解析
如下图所示,根据双曲线的定义,满足,可解得,在直角三角形中由勾股定理可以解得,由题意易知三角形,所以则点的横坐标为。
考查方向
解题思路
根据已知条件画出图像再找到关系之后可以解出。
易错点
不会将已知条件转化为所学的知识来解答。
知识点
5.已知点、分别是椭圆的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点,若为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为( )
正确答案
解析
设|F1F2|=2c,则可知|MF1|=2c,|MF2|=2c,由2a=(2c+2c),可得离心率e=.
考查方向
本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质。
解题思路
根据椭圆的焦点三角形是等腰直角三角形,结合椭圆的定义列方程可得。
易错点
无法根据图形确定方程。
教师点评
本题考查了椭圆知识,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与解三角形等知识点交汇命题。
知识点
20.已知椭圆C的中心在坐标原点O,左焦点为F(-l,0),离心率为
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F的直线,与椭圆C交于A、B两点,设(其中1<入<3),求的取值范围,
正确答案
(1);(2).
解析
试题分析:本题属于圆锥曲线中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按照步骤来求(2)要注意对参数的讨论.
(1);
(2)由(其中1<入<3)知,直线l不水平,设l:x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2)
联立:消x得:(2+m2)y2-2my-1=0,得①
由(其中1<入<3)得y1= -λy2……② 则,
令t=,则0<t<,得……③。
=x1x2+y1y2=(my1-1)(my2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-m(y1+y2)+1=,
将③代入,得=,从而∈。
考查方向
本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识点.
解题思路
本题考查圆锥曲线与直线的位置关系,解题步骤如下:
(1)利用e和c求a,b。
(2)联立直线与椭圆方程求解。
易错点
(1)第二问中的易丢对a的分类讨论。
知识点
18. 平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆上一动点的直线,过F2与x轴垂直的直线记为,右准线记为;
①设直线与直线相交于点M,直线与直线相交于点N,证明恒为定值,并求此定值。
②若连接并延长与直线相交于点Q,椭圆的右顶点A,设直线PA的斜率为,直线QA的斜率为,求的取值范围.
正确答案
见解析
解析
(1)由题意知 ,则 ,又 可得 ,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)①M N
②点(),点Q,
∵,,
∴==.
∵点P在椭圆C上, ∴,
∴==.
∵,
∴.
∴的取值范围是.
考查方向
解题思路
本题考查导数的性质,解题步骤如下:
(1)根据离心率和几何特点,求出椭圆方程
(2)表示M,N进而得
(3)表示,进而得的取值范围.
易错点
点M,N表示不当
知识点
已知椭圆过点,且离心率。
27.求椭圆方程;
28.若直线与椭圆交于不同的两点、,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围。
正确答案
解析
由题意椭圆的离心率
∴椭圆方程为……2分
又点在椭圆上
∴椭圆的方程为……4分
考查方向
解题思路
由离心率求出,a,b,c的关系,用c表示出a,b来,再利用过点得到c的方程,求解。
易错点
熟悉a,b,c之间的关系。
正确答案
解析
设 由
消去并整理得……6分
∵直线与椭圆有两个交点
,即……8分
又 中点的坐标为……10分
设的垂直平分线方程:
在上 即
……12分
将上式代入得
即或 的取值范围为……14分
考查方向
解题思路
由直线与椭圆联立方程组,消去y,得到关于x的一元二次方程,有两不等实根,判别式大于零的不等式,又利用韦达定理可得,MN中点的坐标可以用,k,m表示。MN的垂直平分线过定点可得MN的中点在线段MN的垂直平分线上,这样可以得到k,m的等式,用等式与不等式联立,消去m的k的不等式,解不等式可得解。
易错点
利用韦达定理出错,以及垂直平分线过定点的利用。
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