- 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
- 共6491题
已知实数x，y满足
（1）若z=2x+y，求z的最小值；
（2）若z=
正确答案
解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A，
直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小，
由
即A（1，2），此时z=2+2=4．
（2）z的几何意义为区域内的点与原点连线的斜率，由图象可得OA的斜率最大，
此时z=
解析
解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A，
直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小，
由
即A（1，2），此时z=2+2=4．
（2）z的几何意义为区域内的点与原点连线的斜率，由图象可得OA的斜率最大，
此时z=
（2015秋•临沂期末）若x，y满足
正确答案
3
解析
解：由约束条件
联立
化z=x+y为y=-x+z，
由图可知，当直线y=-x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．
故答案为：3．
设变量x，y满足
正确答案
解析
解：由约束条件
联立
化z=2x+y为y=-2x+z，
由图可知，当直线y=-2x+z过A（
故答案为：
实数x，y满足
正确答案
解析
解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
∵y=-x+z，则z表示直线的纵截距
做直线L：x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大
此时z=2a=4
∴a=2
故选：B．
若不等式组
正确答案
解析
解：由约束条件
∵直线y=kx+5过定点（0，5），
数形结合可知，要使可行域表示的平面区域是一个钝角三角形，则k∈（-∞，-1）∪（0，1）．
故选：B．
若实数x、y满足不等式组
正确答案
-2
解析
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设k=
由图象可知，OD的斜率最小，此时k=-3，
则
故答案为：-2
已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
（2）设
（3）试证明：对∀n∈N*，不等式
正确答案
由-1∈M，2∈M得
画出不等式组所确定的可行域如右图示：作平行线族b=3a-z
可见当a=-0.5，b=0.5时z有最小值，，zmin=-2
∴z的取值范围为z≥-2．----------------------------------------（4分）
解法2：令h（x）=f（x）+g（x）由-1∈M，2∈M得h（-1）≥0，h（2）≥0
由
∴
∵h（-1）≥0，h（2）≥0∴3a-b≥-2，即z的取值范围为z≥-2．------------（4分）]
（2）∵
令F‘（x）=0得1-lnx=0
∴x=e------------------------------------------------------------（7分）
∵当0＜x＜e时
∴函数F（x）在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增--------------------------（9分）
（3）证法1：由（2）知当x=e时函数有最小值
∴在（0，+∞）上恒有
∵b＜0∴
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有
∵
即对∀n∈N*，不等式
〔证法2：构造函数
令
∵当0＜x＜e时p'（x）＞0，当x＞e时p'（x）＜0
∴函数p（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减----------------------（12分）
当x=e时函数p（x）有最大值p（x）max=p（e）=0
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有
∵
即对∀n∈N*，不等式
解析
由-1∈M，2∈M得
画出不等式组所确定的可行域如右图示：作平行线族b=3a-z
可见当a=-0.5，b=0.5时z有最小值，，zmin=-2
∴z的取值范围为z≥-2．----------------------------------------（4分）
解法2：令h（x）=f（x）+g（x）由-1∈M，2∈M得h（-1）≥0，h（2）≥0
由
∴
∵h（-1）≥0，h（2）≥0∴3a-b≥-2，即z的取值范围为z≥-2．------------（4分）]
（2）∵
令F‘（x）=0得1-lnx=0
∴x=e------------------------------------------------------------（7分）
∵当0＜x＜e时
∴函数F（x）在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增--------------------------（9分）
（3）证法1：由（2）知当x=e时函数有最小值
∴在（0，+∞）上恒有
∵b＜0∴
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有
∵
即对∀n∈N*，不等式
〔证法2：构造函数
令
∵当0＜x＜e时p'（x）＞0，当x＞e时p'（x）＜0
∴函数p（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减----------------------（12分）
当x=e时函数p（x）有最大值p（x）max=p（e）=0
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有
∵
即对∀n∈N*，不等式
已知x，y满足约束条件
正确答案
解析
解：画出满足条件的平面区域，
如图示：
将z=x+2y转化为：y=-
通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，
zmax=2，
故选：D．
已知点A（1，-1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足
A
B2
C4
D8
正确答案
解析
分别作
则由所有满足
∴
∴
∴S平行四边形DEQF=
=（λ-1）（μ-1）×
=8（λ-1）（μ-1）=8，
化为（λ-1）（μ-1）=1，
∴λμ=λ+μ≥
∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．
∵
∴
∴
∵1＜λ≤a，1＜μ≤b，
∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．
∴a+b≥λ+μ≥4，
∴a+b的最小值为4．
故选：C．
已知x、y满足约束条件
正确答案
4
解析
解：由约束条件画出可行域如图：
目标函数可化为y=-2x+z，得到一簇斜率为-2，截距为z的平行线
要求z的最大值，须保证截距最大
由图象知，当目标函数的图象过点A是截距最大
又∵点A的坐标为（1，2）
∴z的最大值为2×1+2=4．
故答案为：4．
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