二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
共6491题

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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题型：填空题

填空题

已知点P（x，y）的坐标满足，O为坐标原点，则|PO|的最小值为______．

正确答案

解析

解：不等式表示的平面区域如图

|PO|表示区域内的点与原点的距离，

由点到直线的距离公式可得O到直线x+y-3=0的距离为=，此时由，可得x=y=在区域内

∴|PO|的最小值为

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为______．

正确答案

解析

解：满足约束条件的平面区域如图

所以平面区域的面积S=•a•2a=4⇒a=2，

此时A（2，2），B（2，-2）

由图得当z=2x+y过点A（2，2）时，z=2x+y取最大值6．

故答案为 6．

题型：单选题

单选题

已知E为不等式组表示区域内的一点，过点E的直线m与M：（x-1）2+y2=14相交于A，C两点，过点E与m垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为（　　）

正确答案

解析

解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图所示的△PQN及其内部，

其中Q（1，1），P（2，1），N（0，2）

根据题意，当点E与N重合，且直线m与经过E点的直径垂直时，

线段AC长取到最小值，

∵M（1，0），得|MN|==

∴线段AC长最小时，|AC|=2=6

∵BD、AC互相垂直，线段AC长最小时BD为直径

∴四边形ABCD的面积为S=|AC|•|BD|=×6×2=6

即当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为6

故选：D

题型：单选题

单选题

设x、y满足线性约束条件，则x+2y的取值范围是（　　）

A[2，6]

B[2，5]

C[3，6]

D[3，5]

正确答案

解析

解：约束条件对应的可行域如下图：

由图可知：当x=2，y=2时，目标函数Z有最大值Zmax=6，

当x=2，y=0时，目标函数Z有最小值Zmax=2，

则x+2y的取值范围是：[2，6]，

故选A．

题型：单选题

单选题

已知正数x、y满足，则的最小值为（　　）

正确答案

解析

解：由题意作出其平面区域，

∵=，

∴令u=2x+y化为y=-2x+u，u相当于直线y=-2x+u的纵截距，

∴求的最小值可转化为求u的最大值，

由题意知，当x=1，y=2时，u取得最大值4，

故的最小值为=，

故选A．

题型：填空题

填空题

不等式组所确定的平面区域的面积为______．

正确答案

解析

解：由线性规划知识得右图，

则平面区域的面积等于

．

∴平面区域的面积等于12．

故答案为：12．

题型：简答题

简答题

已知直线系l的方程xcosθ+（y-2）sinθ=1（其中θ是常数，且0≤θ≤2π），若该直线系所围成的集合图形为M．

（1）试用代数式表示图形M；

（2）若点（x，y）在M中，试求的取值范围．

正确答案

解：（1）由xcosθ+（y-2）sinθ=1知，

点（0，2）到直线xcosθ+（y-2）sinθ=1的距离d=1，

则图形M为x2+（y-2）2=1；

（2）设=k，则y=k（x+2）-1，

与圆的方程x2+（y-2）2=1联立消去y得，

x2+（k（x+2）-3）2=1，

即（k2+1）x2+（4k2-6k）x+4k2-12k+8=0，

则△=（4k2-6k）2-4（k2+1）（4k2-12k+8）≥0，

即3k2-12k+8≤0，

则≤k≤．

即≤≤．

解析

解：（1）由xcosθ+（y-2）sinθ=1知，

点（0，2）到直线xcosθ+（y-2）sinθ=1的距离d=1，

则图形M为x2+（y-2）2=1；

（2）设=k，则y=k（x+2）-1，

与圆的方程x2+（y-2）2=1联立消去y得，

x2+（k（x+2）-3）2=1，

即（k2+1）x2+（4k2-6k）x+4k2-12k+8=0，

则△=（4k2-6k）2-4（k2+1）（4k2-12k+8）≥0，

即3k2-12k+8≤0，

则≤k≤．

即≤≤．

题型：简答题

简答题

某工厂要制造A种电子装置45台，B电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作A的外壳3个和B的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米，可作A和B的外壳各6个，设用这两种薄钢板分别为x，y张，

（1）写出x，y满足的约束条件；

（2）x，y分别取什么值时，才能使总的用料面积最小，最小面积为多少？

正确答案

解：（1）设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，总的用料面积为z平方米．

则可做A种的外壳为3x+6y个，B种的外壳为5x+6y个，

由题意得：，

（2）由（1）可知，

所有薄金属板的总面积为：z=2x+3y

甲、乙两种薄钢板张数的取值范围如图中阴影部分所示（x，y取整数）．

要使z最小，目标函数表示的直线过点A（5，5），

这时面积为25平方米，

因此用甲、乙两种薄钢板的张数分别为5张、5张，才能使总的用料面积最小．

解析

解：（1）设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，总的用料面积为z平方米．

则可做A种的外壳为3x+6y个，B种的外壳为5x+6y个，

由题意得：，

（2）由（1）可知，

所有薄金属板的总面积为：z=2x+3y

甲、乙两种薄钢板张数的取值范围如图中阴影部分所示（x，y取整数）．

要使z最小，目标函数表示的直线过点A（5，5），

这时面积为25平方米，

因此用甲、乙两种薄钢板的张数分别为5张、5张，才能使总的用料面积最小．

题型：简答题

简答题

设实数x、y满足不等式组

（1）作出点（x，y）所在的平面区域

（2）设a＞-1，在（1）所求的区域内，求函数f（x，y）=y-ax的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）作出满足约束条件的可行域，如右图所示，

（2）由（1）可知，

①当直线z=y-ax的斜率a＞2时，

直线z=y-ax平移到点A（-3，7）时，

目标函数z=y-ax取得最大值7+3a；

当直线z=y-ax平移到点C（3，1）时，

目标函数z=y-ax取得最小值-3a+1；

②当直线z=y-ax的斜率-1＜a≤2时，

直线z=y-ax平移到点A（-3，7）时，

目标函数z=y-ax取得最大值7+3a；

当直线z=y-ax平移到点B（2，-1）时，

目标函数z=y-ax取得最小值-2a-1；

综上所述：最大值为7+3a，最小值为．

解析

解：（1）作出满足约束条件的可行域，如右图所示，

（2）由（1）可知，

①当直线z=y-ax的斜率a＞2时，

直线z=y-ax平移到点A（-3，7）时，

目标函数z=y-ax取得最大值7+3a；

当直线z=y-ax平移到点C（3，1）时，

目标函数z=y-ax取得最小值-3a+1；

②当直线z=y-ax的斜率-1＜a≤2时，

直线z=y-ax平移到点A（-3，7）时，

目标函数z=y-ax取得最大值7+3a；

当直线z=y-ax平移到点B（2，-1）时，

目标函数z=y-ax取得最小值-2a-1；

综上所述：最大值为7+3a，最小值为．

题型：单选题

单选题

当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是（　　）

A（-∞，-1]∪[1，+∞）

B[-1，1]

C（-∞，-1）∪（1，+∞）

D（-1，1）

正确答案

解析

解：由可行域可知，直线AC的斜率=，

直线BC的斜率=，

当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时，C（1，2）是该目标函数z=kx+y的最优解，

所以k∈[-1，1]，

故选B．

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