• 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
  • 共6491题
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1
题型:填空题
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填空题

已知点P(x,y)的坐标满足,O为坐标原点,则|PO|的最小值为______

正确答案

解析

解:不等式表示的平面区域如图

|PO|表示区域内的点与原点的距离,

由点到直线的距离公式可得O到直线x+y-3=0的距离为=,此时由,可得x=y=在区域内

∴|PO|的最小值为

故答案为:

1
题型:填空题
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填空题

已知不等式组,表示的平面区域的面积为4,点P(x,y)在所给平面区域内,则z=2x+y的最大值为______

正确答案

6

解析

解:满足约束条件的平面区域如图

所以平面区域的面积S=•a•2a=4⇒a=2,

此时A(2,2),B(2,-2)

由图得当z=2x+y过点A(2,2)时,z=2x+y取最大值6.

故答案为 6.

1
题型: 单选题
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单选题

已知E为不等式组表示区域内的一点,过点E的直线m与M:(x-1)2+y2=14相交于A,C两点,过点E与m垂直的直线交圆M于B、D两点,当AC取最小值时,四边形ABCD的面积为(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解:作出不等式组表示的平面区域,

得到如图所示的△PQN及其内部,

其中Q(1,1),P(2,1),N(0,2)

根据题意,当点E与N重合,且直线m与经过E点的直径垂直时,

线段AC长取到最小值,

∵M(1,0),得|MN|==

∴线段AC长最小时,|AC|=2=6

∵BD、AC互相垂直,线段AC长最小时BD为直径

∴四边形ABCD的面积为S=|AC|•|BD|=×6×2=6

即当AC取最小值时,四边形ABCD的面积为6

故选:D

1
题型: 单选题
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单选题

设x、y满足线性约束条件,则x+2y的取值范围是(  )

A[2,6]

B[2,5]

C[3,6]

D[3,5]

正确答案

A

解析

解:约束条件对应的可行域如下图:

由图可知:当x=2,y=2时,目标函数Z有最大值Zmax=6,

当x=2,y=0时,目标函数Z有最小值Zmax=2,

则x+2y的取值范围是:[2,6],

故选A.

1
题型: 单选题
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单选题

已知正数x、y满足,则的最小值为(  )

A

B

C2

D4

正确答案

A

解析

解:由题意作出其平面区域,

=

∴令u=2x+y化为y=-2x+u,u相当于直线y=-2x+u的纵截距,

∴求的最小值可转化为求u的最大值,

由题意知,当x=1,y=2时,u取得最大值4,

的最小值为=

故选A.

1
题型:填空题
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填空题

不等式组所确定的平面区域的面积为______

正确答案

12

解析

解:由线性规划知识得右图,

则平面区域的面积等于

∴平面区域的面积等于12.

故答案为:12.

1
题型:简答题
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简答题

已知直线系l的方程xcosθ+(y-2)sinθ=1(其中θ是常数,且0≤θ≤2π),若该直线系所围成的集合图形为M.

(1)试用代数式表示图形M;

(2)若点(x,y)在M中,试求的取值范围.

正确答案

解:(1)由xcosθ+(y-2)sinθ=1知,

点(0,2)到直线xcosθ+(y-2)sinθ=1的距离d=1,

则图形M为x2+(y-2)2=1;

(2)设=k,则y=k(x+2)-1,

与圆的方程x2+(y-2)2=1联立消去y得,

x2+(k(x+2)-3)2=1,

即(k2+1)x2+(4k2-6k)x+4k2-12k+8=0,

则△=(4k2-6k)2-4(k2+1)(4k2-12k+8)≥0,

即3k2-12k+8≤0,

≤k≤

解析

解:(1)由xcosθ+(y-2)sinθ=1知,

点(0,2)到直线xcosθ+(y-2)sinθ=1的距离d=1,

则图形M为x2+(y-2)2=1;

(2)设=k,则y=k(x+2)-1,

与圆的方程x2+(y-2)2=1联立消去y得,

x2+(k(x+2)-3)2=1,

即(k2+1)x2+(4k2-6k)x+4k2-12k+8=0,

则△=(4k2-6k)2-4(k2+1)(4k2-12k+8)≥0,

即3k2-12k+8≤0,

≤k≤

1
题型:简答题
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简答题

某工厂要制造A种电子装置45台,B电子装置55台,为了给每台装配一个外壳,要从两种不同的薄钢板上截取,已知甲种薄钢板每张面积为2平方米,可作A的外壳3个和B的外壳5个;乙种薄钢板每张面积3平方米,可作A和B的外壳各6个,设用这两种薄钢板分别为x,y张,

(1)写出x,y满足的约束条件;

(2)x,y分别取什么值时,才能使总的用料面积最小,最小面积为多少?

正确答案

解:(1)设用甲种薄金属板x张,乙种薄金属板y张,总的用料面积为z平方米.

则可做A种的外壳为3x+6y个,B种的外壳为5x+6y个,

由题意得:

(2)由(1)可知

所有薄金属板的总面积为:z=2x+3y

甲、乙两种薄钢板张数的取值范围如图中阴影部分所示(x,y取整数).

要使z最小,目标函数表示的直线过点A(5,5),

这时面积为25平方米,

因此用甲、乙两种薄钢板的张数分别为5张、5张,才能使总的用料面积最小.

解析

解:(1)设用甲种薄金属板x张,乙种薄金属板y张,总的用料面积为z平方米.

则可做A种的外壳为3x+6y个,B种的外壳为5x+6y个,

由题意得:

(2)由(1)可知

所有薄金属板的总面积为:z=2x+3y

甲、乙两种薄钢板张数的取值范围如图中阴影部分所示(x,y取整数).

要使z最小,目标函数表示的直线过点A(5,5),

这时面积为25平方米,

因此用甲、乙两种薄钢板的张数分别为5张、5张,才能使总的用料面积最小.

1
题型:简答题
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简答题

设实数x、y满足不等式组

(1)作出点(x,y)所在的平面区域

(2)设a>-1,在(1)所求的区域内,求函数f(x,y)=y-ax的最大值和最小值.

正确答案

解:(1)作出满足约束条件的可行域,如右图所示,

(2)由(1)可知,

①当直线z=y-ax的斜率a>2时,

直线z=y-ax平移到点A(-3,7)时,

目标函数z=y-ax取得最大值7+3a;

当直线z=y-ax平移到点C(3,1)时,

目标函数z=y-ax取得最小值-3a+1;

②当直线z=y-ax的斜率-1<a≤2时,

直线z=y-ax平移到点A(-3,7)时,

目标函数z=y-ax取得最大值7+3a;

当直线z=y-ax平移到点B(2,-1)时,

目标函数z=y-ax取得最小值-2a-1;

综上所述:最大值为7+3a,最小值为

解析

解:(1)作出满足约束条件的可行域,如右图所示,

(2)由(1)可知,

①当直线z=y-ax的斜率a>2时,

直线z=y-ax平移到点A(-3,7)时,

目标函数z=y-ax取得最大值7+3a;

当直线z=y-ax平移到点C(3,1)时,

目标函数z=y-ax取得最小值-3a+1;

②当直线z=y-ax的斜率-1<a≤2时,

直线z=y-ax平移到点A(-3,7)时,

目标函数z=y-ax取得最大值7+3a;

当直线z=y-ax平移到点B(2,-1)时,

目标函数z=y-ax取得最小值-2a-1;

综上所述:最大值为7+3a,最小值为

1
题型: 单选题
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单选题

当点M(x,y)在如图所示的三角形ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k的取值范围是(  )

A(-∞,-1]∪[1,+∞)

B[-1,1]

C(-∞,-1)∪(1,+∞)

D(-1,1)

正确答案

B

解析

解:由可行域可知,直线AC的斜率=

直线BC的斜率=

当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时,C(1,2)是该目标函数z=kx+y的最优解,

所以k∈[-1,1],

故选B.

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