- 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
- 共6491题
已知点P(x,y)的坐标满足,O为坐标原点,则|PO|的最小值为______.
正确答案
解析
解:不等式表示的平面区域如图
|PO|表示区域内的点与原点的距离,
由点到直线的距离公式可得O到直线x+y-3=0的距离为=
,此时由
,可得x=y=
在区域内
∴|PO|的最小值为
故答案为:
已知不等式组,表示的平面区域的面积为4,点P(x,y)在所给平面区域内,则z=2x+y的最大值为______.
正确答案
6
解析
解:满足约束条件
的平面区域如图
所以平面区域的面积S=•a•2a=4⇒a=2,
此时A(2,2),B(2,-2)
由图得当z=2x+y过点A(2,2)时,z=2x+y取最大值6.
故答案为 6.
已知E为不等式组表示区域内的一点,过点E的直线m与M:(x-1)2+y2=14相交于A,C两点,过点E与m垂直的直线交圆M于B、D两点,当AC取最小值时,四边形ABCD的面积为( )
正确答案
解析
解:作出不等式组表示的平面区域,
得到如图所示的△PQN及其内部,
其中Q(1,1),P(2,1),N(0,2)
根据题意,当点E与N重合,且直线m与经过E点的直径垂直时,
线段AC长取到最小值,
∵M(1,0),得|MN|==
∴线段AC长最小时,|AC|=2=6
∵BD、AC互相垂直,线段AC长最小时BD为直径
∴四边形ABCD的面积为S=|AC|•|BD|=
×6×2
=6
即当AC取最小值时,四边形ABCD的面积为6
故选:D
设x、y满足线性约束条件,则x+2y的取值范围是( )
正确答案
解析
解:约束条件
对应的可行域如下图:
由图可知:当x=2,y=2时,目标函数Z有最大值Zmax=6,
当x=2,y=0时,目标函数Z有最小值Zmax=2,
则x+2y的取值范围是:[2,6],
故选A.
已知正数x、y满足,则
的最小值为( )
正确答案
解析
解:由题意作出其平面区域,
∵=
,
∴令u=2x+y化为y=-2x+u,u相当于直线y=-2x+u的纵截距,
∴求的最小值可转化为求u的最大值,
由题意知,当x=1,y=2时,u取得最大值4,
故的最小值为
=
,
故选A.
不等式组所确定的平面区域的面积为______.
正确答案
12
解析
解:由线性规划知识得右图,
则平面区域的面积等于
.
∴平面区域的面积等于12.
故答案为:12.
已知直线系l的方程xcosθ+(y-2)sinθ=1(其中θ是常数,且0≤θ≤2π),若该直线系所围成的集合图形为M.
(1)试用代数式表示图形M;
(2)若点(x,y)在M中,试求的取值范围.
正确答案
解:(1)由xcosθ+(y-2)sinθ=1知,
点(0,2)到直线xcosθ+(y-2)sinθ=1的距离d=1,
则图形M为x2+(y-2)2=1;
(2)设=k,则y=k(x+2)-1,
与圆的方程x2+(y-2)2=1联立消去y得,
x2+(k(x+2)-3)2=1,
即(k2+1)x2+(4k2-6k)x+4k2-12k+8=0,
则△=(4k2-6k)2-4(k2+1)(4k2-12k+8)≥0,
即3k2-12k+8≤0,
则≤k≤
.
即≤
≤
.
解析
解:(1)由xcosθ+(y-2)sinθ=1知,
点(0,2)到直线xcosθ+(y-2)sinθ=1的距离d=1,
则图形M为x2+(y-2)2=1;
(2)设=k,则y=k(x+2)-1,
与圆的方程x2+(y-2)2=1联立消去y得,
x2+(k(x+2)-3)2=1,
即(k2+1)x2+(4k2-6k)x+4k2-12k+8=0,
则△=(4k2-6k)2-4(k2+1)(4k2-12k+8)≥0,
即3k2-12k+8≤0,
则≤k≤
.
即≤
≤
.
某工厂要制造A种电子装置45台,B电子装置55台,为了给每台装配一个外壳,要从两种不同的薄钢板上截取,已知甲种薄钢板每张面积为2平方米,可作A的外壳3个和B的外壳5个;乙种薄钢板每张面积3平方米,可作A和B的外壳各6个,设用这两种薄钢板分别为x,y张,
(1)写出x,y满足的约束条件;
(2)x,y分别取什么值时,才能使总的用料面积最小,最小面积为多少?
正确答案
解:(1)设用甲种薄金属板x张,乙种薄金属板y张,总的用料面积为z平方米.
则可做A种的外壳为3x+6y个,B种的外壳为5x+6y个,
由题意得:,
(2)由(1)可知,
所有薄金属板的总面积为:z=2x+3y
甲、乙两种薄钢板张数的取值范围如图中阴影部分所示(x,y取整数).
要使z最小,目标函数表示的直线过点A(5,5),
这时面积为25平方米,
因此用甲、乙两种薄钢板的张数分别为5张、5张,才能使总的用料面积最小.
解析
解:(1)设用甲种薄金属板x张,乙种薄金属板y张,总的用料面积为z平方米.
则可做A种的外壳为3x+6y个,B种的外壳为5x+6y个,
由题意得:,
(2)由(1)可知,
所有薄金属板的总面积为:z=2x+3y
甲、乙两种薄钢板张数的取值范围如图中阴影部分所示(x,y取整数).
要使z最小,目标函数表示的直线过点A(5,5),
这时面积为25平方米,
因此用甲、乙两种薄钢板的张数分别为5张、5张,才能使总的用料面积最小.
设实数x、y满足不等式组
(1)作出点(x,y)所在的平面区域
(2)设a>-1,在(1)所求的区域内,求函数f(x,y)=y-ax的最大值和最小值.
正确答案
解:(1)作出满足约束条件
的可行域,如右图所示,
(2)由(1)可知,
①当直线z=y-ax的斜率a>2时,
直线z=y-ax平移到点A(-3,7)时,
目标函数z=y-ax取得最大值7+3a;
当直线z=y-ax平移到点C(3,1)时,
目标函数z=y-ax取得最小值-3a+1;
②当直线z=y-ax的斜率-1<a≤2时,
直线z=y-ax平移到点A(-3,7)时,
目标函数z=y-ax取得最大值7+3a;
当直线z=y-ax平移到点B(2,-1)时,
目标函数z=y-ax取得最小值-2a-1;
综上所述:最大值为7+3a,最小值为.
解析
解:(1)作出满足约束条件
的可行域,如右图所示,
(2)由(1)可知,
①当直线z=y-ax的斜率a>2时,
直线z=y-ax平移到点A(-3,7)时,
目标函数z=y-ax取得最大值7+3a;
当直线z=y-ax平移到点C(3,1)时,
目标函数z=y-ax取得最小值-3a+1;
②当直线z=y-ax的斜率-1<a≤2时,
直线z=y-ax平移到点A(-3,7)时,
目标函数z=y-ax取得最大值7+3a;
当直线z=y-ax平移到点B(2,-1)时,
目标函数z=y-ax取得最小值-2a-1;
综上所述:最大值为7+3a,最小值为.
当点M(x,y)在如图所示的三角形ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k的取值范围是( )
正确答案
解析
解:由可行域可知,直线AC的斜率=
,
直线BC的斜率=,
当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时,C(1,2)是该目标函数z=kx+y的最优解,
所以k∈[-1,1],
故选B.
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